[论文解读] Sampling-based verification of Lyapunov's inequality for piecewise continuous nonlinear systems

Ruxandra Bobiti, Mircea Lazar|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Control Systems and Identification参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于采样的去中心化方法，通过在有界初始状态的有限多分辨率采样上检查递减条件，并利用连续性将有效性扩展，从而验证分段连续非线性系统的李雅普诺夫不等式。该方法通过使用超长方体采样块避免大规模优化，实现了对离散和连续时间系统的可扩展、形式化稳定性验证，并提供保证的吸引域估计。

ABSTRACT

This paper considers a sampling-based approach to stability verification for piecewise continuous nonlinear systems via Lyapunov functions. Depending on the system dynamics, the candidate Lyapunov function and the set of initial states of interest, one generally needs to handle large, possibly non-convex or non-feasible optimization problems. To avoid such problems, we propose a constructive and systematically applicable sampling-based method to Lyapunov's inequality verification. This approach proposes verification of the decrease condition for a candidate Lyapunov function on a finite sampling of a bounded set of initial conditions and then it extends the validity of the Lyapunov function to an infinite set of initial conditions by automatically exploiting continuity properties. This result is based on multi-resolution sampling, to perform efficient state- space exploration. Using hyper-rectangles as basic sampling blocks, to account for different constraint scales on different states, further reduces the amount of samples to be verified. Moreover, the verification is decentralized in the sampling points, which makes the method scalable. The proposed methodology is illustrated through examples.

研究动机与目标

• 为解决传统基于优化的李雅普诺夫函数验证在高维、非凸或不可 tractable 系统中的可扩展性和可行性问题。
• 开发一种构造性、确定性的框架，以验证李雅普诺夫不等式，而无需求解大规模全局优化问题。
• 通过利用连续性将有限采样验证扩展到无限集合，实现对分段连续非线性系统的正式稳定性分析。
• 通过统一的基于采样的验证方法，支持离散和连续时间系统，实现可扩展、去中心化的计算。
• 为如动力总成控制等实际系统计算一个经过认证的非凸吸引域（DOA），并提供形式化保证。

提出的方法

• 该方法在有界集合 $ \mathcal{S} \subset \mathbb{R}^n $ 的有限多分辨率采样上验证李雅普诺夫递减条件 $ V(G^k(x)) - \rho(V(x)) < 0 $，其中 $ G $ 为系统映射，$ \rho $ 为比较函数。
• 使用超长方体作为采样块，以适应不同的状态约束尺度，减少所需采样数。
• 验证在采样点之间去中心化进行，实现无需全局优化的并行和可扩展计算。
• 利用连续性特性，将李雅普诺夫条件的有效性从有限采样扩展到不可数的无限初始状态集合。
• 对于连续时间系统，该方法适用于欧拉离散化系统，并在原始连续系统上验证结果。
• 使用层级集计算算法计算包含在采样集合中的最大不变集 $ \mathbb{W} $，从而提供经过认证的吸引域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不求解大规模非凸优化问题的情况下，验证分段连续非线性系统的李雅普诺夫不等式？
• RQ2 如何利用有限采样通过连续性对无限多初始条件的稳定性进行认证？
• RQ3 何种采样策略能够实现对高维状态空间的高效、可扩展且自适应的探索？
• RQ4 该方法如何在保证形式化结果的前提下应用于离散和连续时间系统？
• RQ5 所提出的方法能否为如动力总成控制等实际系统计算出非凸且经过认证的吸引域？

主要发现

• 该方法成功计算出一个经过认证的吸引域 $ \mathbb{W} $，其层级集 $ \overline{L} = 0.0209 $，适用于三维动力总成控制系统，确保空燃比保持在最优值的10%以内。
• 该方法通过使用去中心化、有限采样验证与基于连续性的扩展，避免了全局优化，实现了对高维系统的可扩展性。
• 多分辨率超长方体采样减少了所需采样数，同时考虑了不同状态约束尺度的变化。
• 该方法保证对所有 $ x \in \mathcal{S} $，有 $ V(G^3(x)) - 0.999V(x) < 0 $ 成立，其中 $ \mathcal{S} $ 为已验证集合与一个经过认证的集合 $ \mathcal{A} $ 的并集。
• 最终的李雅普诺夫函数 $ W(x) = \sum_{i=0}^{2} G^i(x)^T P G^i(x) $ 生成一个非凸不变集 $ \mathbb{W} $，该集合是离散化系统和原始连续时间系统吸引域的子集。
• 该方法在真实世界动力总成系统上进行了验证，证明其能够提供形式化、可扩展且实用的稳定性保证。