[论文解读] Sampling discretization of integral norms

Feng Dai, Andriy Prymak+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2020

Mathematical functions and polynomials参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文通过在一致范数下结合概率方法与熵数估计，提出了一种新颖的条件性定理，用于处理 $L_q$ 范数的采样离散化，其中 $1 \leq q < \infty$。该框架被应用于多变量三角多项式（频率位于双曲截面中）的 Marcinkiewicz 型离散化定理，实现了最优的样本量尺度 $m \lesssim |Q_n|n^3$，适用于 $1 \leq q \leq 2$ 的情形。该结果改进了先前的界，并修正了早期工作中存在的技术性不准确之处。

ABSTRACT

The paper is devoted to discretization of integral norms of functions from a given finite dimensional subspace. Even though this problem is extremely important in applications, its systematic study has begun recently. In this paper we obtain a conditional theorem for all integral norms $L_q$, $1\le q

研究动机与目标

• 为 $1 \leq q < \infty$ 的 $L_q$ 范数采样离散化建立一个通用的条件性框架，将已知结果从 $q=1$ 扩展至 $q > 1$ 的情形。
• 解决在有限维子空间中，利用有限个点的函数值对积分范数进行离散化的问题。
• 为频率位于双曲截面中的多变量三角多项式离散化建立最优样本量边界。
• 修正并改进文献中先前的结果，特别是那些样本量界次优或存在技术缺陷的工作。

提出的方法

• 基于一致范数下的熵数与概率技术，提出一种条件性离散化定理。
• 利用三角多项式类在 $L_\infty$ 中的熵数有界性，控制采样误差。
• 将该条件性定理应用于双曲截面三角多项式空间 $\mathcal{T}(Q_n)$，并利用文献 [1] 和 [16] 中已知的熵估计。
• 推导出一个 Marcinkiewicz 型定理，其显式样本量为 $m \lesssim |Q_n|n^3$，且对 $1 \leq q \leq 2$ 满足 $\|f\|_q^q \lesssim \frac{1}{m}\sum |f(\xi^j)|^q \lesssim \|f\|_q^q$。
• 将条件性定理与熵数界 $\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_q, L_\infty) \lesssim n^{1/q} \max(|Q_n|/k, 2^{-k/(2|Q_n|)})$ 结合，实现最优样本复杂度。
• 通过证明在所构造的采样方案下，该离散化对所有 $f \in \mathcal{T}(Q_n)$ 以高概率一致成立，从而验证了方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $1 < q < \infty$ 的 $L_q$ 采样离散化建立一个通用的条件性定理，从而将已知的 $q=1$ 情形结果推广？
• RQ2 在有限维子空间中，特别是针对频率位于双曲截面的三角多项式，离散化 $L_q$ 范数所需的最优样本量 $m$ 是多少？
• RQ3 一致范数下的熵数如何影响 $L_q$ 范数采样离散化的质量？
• RQ4 能否在先前工作报道的 $m \lesssim |Q_n|n^4$ 基础上进一步改进样本量界？
• RQ5 在 $L_\infty$ 情形下，采样离散化存在哪些限制？其与 $L_q$（$q < \infty$）情形有何本质区别？

主要发现

• 为 $1 \leq q < \infty$ 建立了 $L_q$ 采样离散化的条件性定理，推广了此前仅适用于 $q=1$ 的结果。
• 该方法在 $1 \leq q \leq 2$ 情形下，实现了对双曲截面三角多项式 $L_q$ 范数的 Marcinkiewicz 型离散化，样本量界为 $m \lesssim |Q_n|n^3$，优于 Belinsky [1] 所报告的 $m \lesssim |Q_n|n^4$ 界。
• 该结果修正了早期证明中存在技术性不准确之处，特别是样本量界推导中的错误。
• 熵数估计 $\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_q, L_\infty) \lesssim n^{1/q} \max(|Q_n|/k, 2^{-k/(2|Q_n|)})$ 在实现改进的样本复杂度中起到了关键作用。
• 当 $q=2$ 时，该方法恢复了已知结果并达到最优常数，与现有文献保持一致。
• $L_\infty$ 情形被证明具有本质不同，其样本量存在超线性下界 $m \gg |Q_n|^{1+c}$（$c>0$），表明离散化复杂度存在显著的相变现象。