[论文解读] Sampling on energy-norm based sparse grids for the optimal recovery of Sobolev type functions in $H^\gamma$

Glenn Byrenheid, Ðinh Dũng+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 22被引用 5

一句话总结

该论文在使用基于能量范数的稀疏网格和Smolyak算法对Sobolev型函数进行最优恢复时，建立了在$H^\gamma$中采样数的精确多项式衰减速率。证明了当$\gamma > \beta$时，嵌入$H^{\alpha,\beta}(T^d) \hookrightarrow H^\gamma(T^d)$的采样数具有与逼近数相同的渐近阶$m^{-(\alpha + \beta - \gamma)}$，且无对数因子，从而在这些光滑性条件下确认了采样方案的最优性。

ABSTRACT

We investigate the rate of convergence of linear sampling numbers of the embedding $H^{\alpha,\beta} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow H^\gamma (\mathbb{T}^d)$. Here $\alpha$ governs the mixed smoothness and $\beta$ the isotropic smoothness in the space $H^{\alpha,\beta}(\mathbb{T}^d)$ of hybrid smoothness, whereas $H^{\gamma}(\mathbb{T}^d)$ denotes the isotropic Sobolev space. If $\gamma>\beta$ we obtain sharp polynomial decay rates for the first embedding realized by sampling operators based on "energy-norm based sparse grids" for the classical trigonometric interpolation. This complements earlier work by Griebel, Knapek and D\~ung, Ullrich, where general linear approximations have been considered. In addition, we study the embedding $H^\alpha_{mix} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow H^{\gamma}_{mix}(\mathbb{T}^d)$ and achieve optimality for Smolyak's algorithm applied to the classical trigonometric interpolation. This can be applied to investigate the sampling numbers for the embedding $H^\alpha_{mix} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow L_q(\mathbb{T}^d)$ for $2<q\leq \infty$ where again Smolyak's algorithm yields the optimal order. The precise decay rates for the sampling numbers in the mentioned situations always coincide with those for the approximation numbers, except probably in the limiting situation $\beta = \gamma$ (including the embedding into $L_2(\mathbb{T}^d)$). The best what we could prove there is a (probably) non-sharp results with a logarithmic gap between lower and upper bound.

研究动机与目标

• 研究在环面上混合型与各向同性Sobolev空间之间嵌入的线性采样数的渐近衰减速率。
• 建立基于能量范数稀疏网格的采样恢复在$H^{\alpha,\beta}(T^d)$类函数中的最优性。
• 利用Smolyak算法分析$H^{\alpha}_{\text{mix}}(T^d) \to H^{\gamma}_{\text{mix}}(T^d)$的嵌入，并在$L^q$-范数中恢复采样数。
• 将采样数与逼近数进行比较，并在临界情形$\gamma = \beta$中填补对数因子的差距。

提出的方法

• 使用基于能量范数的稀疏网格构造$H^\gamma(T^d)$中三角插值的采样算子。
• 应用Smolyak算法在混合光滑性设定下实现最优收敛速率。
• 利用涉及Sobolev空间之间同构的交换图，关联不同嵌入下的逼近数。
• 通过$H^\gamma$-范数中的抽象线性$n$-宽度和Bernstein型不等式推导下界。
• 结合[9]中关于逼近数的结果与新的采样估计，建立精确的渐近等价性。
• 利用经典三角插值和在散乱点上的函数取值来定义采样算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$\gamma > \beta$时，嵌入$H^{\alpha,\beta}(T^d) \to H^\gamma(T^d)$的采样数的确切渐近衰减速率是什么？
• RQ2 Smolyak算法能否对$H^{\alpha}_{\text{mix}}(T^d)$类函数实现最优采样速率？
• RQ3 在$\gamma = \beta$的情形下，采样数与逼近数如何比较？
• RQ4 在临界情形$\gamma = \beta$中，对数因子差距是否为紧的，还是可以被消除？
• RQ5 基于能量范数的稀疏网格在实现最优收敛中起到何种作用？

主要发现

• 当$\gamma > \beta$时，采样数满足$g_m(I_1) \asymp m^{-(\alpha + \beta - \gamma)}$，与逼近数完全一致，且无对数因子。
• 通过Smolyak算法，$H^{\alpha}_{\text{mix}}(T^d) \to H^{\gamma}_{\text{mix}}(T^d)$的采样数达到最优速率$m^{-(\alpha - \gamma)}(\log m)^{(d-1)(\alpha - \gamma)}$。
• 对于嵌入$H^{\alpha}_{\text{mix}}(T^d) \to L^2(T^d)$，采样数满足$g_m(I_3) \lesssim m^{-\alpha}(\log m)^{(d-1)(\alpha + 1/2)}$，与目前已知的最佳上界一致。
• 在临界情形$\gamma = \beta$中，采样数满足$m^{-\alpha}(\log m)^{(d-1)\alpha} \lesssim g_m(I_2) \lesssim m^{-\alpha}(\log m)^{(d-1)(\alpha + 1/2)}$，表明存在对数差距。
• 论文证实，在$\gamma > \beta$条件下，采样数与逼近数具有相同的衰减速率，从而在收敛速度上建立了等价性。
• 结果通过经典三角插值和基于能量范数的稀疏网格推导得出，表明这些构造可实现最优恢复方案。