[论文解读] Sampling recovery and cubature on sparse grids

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Mathematical Approximation and Integration被引用 1

一句话总结

该论文针对高斯函数在各向异性和混合平滑性Besov空间中的情形，构建了稀疏网格上的最优线性采样恢复与积分公式。通过在特殊设计的稀疏网格上使用B样条拟插值，建立了恢复与积分的渐近误差率，首次在该设定下实现了最优构造，并给出了明确的误差界。

ABSTRACT

Let $X_n = \{x^j\}_{j=1}^n$ be a set of $n$ points in the $d$-cube $[0,1]^d$, and $\Phi_n = \{\varphi_j\}_{j =1}^n$ a family of $n$ functions on $[0,1]^d$. We consider the approximate recovery functions $f$ on $[0,1]^d$ from the sampled values $f(x^1), ..., f(x^n)$, by the linear sampling algorithm \begin{equation} onumber L_n(X_n,\Phi_n,f) := \sum_{j=1}^n f(x^j)\varphi_j. \end{equation} The error of sampling recovery is measured in the norm of the space $L_q([0,1]^d)$-norm or the energy norm of the isotropic Sobolev sapce $W^\gamma_q([0,1]^d)$ for $0 0$. Functions $f$ to be recovered are from the unit ball in Besov type spaces of an anisotropic smoothness, in particular, spaces $B^a_{p, heta}$ of a nonuniform mixed smoothness $a \in {\mathbb R}^d_+$, and spaces $B^{\alpha,\beta}_{p, heta}$ of a hybrid of mixed smoothness $\alpha > 0$ and isotropic smoothness $\beta \in \mathbb R$. We constructed optimal linear sampling algorithms $L_n(X_n^*,\Phi_n^*,\cdot)$ on special sparse grids $X_n^*$ and a family $\Phi_n^*$ of linear combinations of integer or half integer translated dilations of tensor products of B-splines. We computed the asymptotic of the error of the optimal recovery. This construction is based on a B-spline quasi-interpolation representations of functions in $B^a_{p, heta}$ and $B^{\alpha,\beta}_{p, heta}$. As consequences we obtained the asymptotic of optimal cubature formulas for numerical integration of functions from the unit ball of these Besov type spaces.

研究动机与目标

• 为d维立方体上非均匀混合平滑性的Besov空间中的函数恢复，开发最优线性采样算法。
• 在相同的函数空间中，构建最优积分公式。
• 确定采样恢复与积分问题中最佳误差的渐近行为。
• 设计稀疏网格及其关联的重构函数，以实现最佳可能的收敛速率。
• 将最优恢复理论扩展至各向异性和混合平滑性空间，超越等向Sobolev设定。

提出的方法

• 使用平移和缩放B样条的线性组合作为重构函数，构建最优采样算法。
• 采用由整数或半整数位移点构成的稀疏网格$X_n^*$，其结构根据函数空间的各向异性平滑性量身定制。
• 利用B样条拟插值表示法，表达$B^a_{p, heta}$和$B^{eta,eta}_{p, heta}$中的函数，从而实现稳定且精确的恢复。
• 在$L_q$-范数和Sobolev能量范数下推导采样算法的误差，以Besov空间单位球为基准衡量性能。
• 通过积分重构算子，将采样恢复框架应用于推导最优积分公式。
• 通过分析基于B样条的重构在稀疏网格上的逼近性质，建立渐近误差公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在各向异性的Besov空间$B^a_{p, heta}$（$a \in \mathbb{R}^d_+$）中，函数线性采样恢复的最优收敛速率是什么？
• RQ2 如何在混合平滑性Besov空间中构造最优积分公式以实现数值积分？
• RQ3 在稀疏网格上，最优采样恢复误差的渐近行为如何？
• RQ4 在稀疏网格上使用B样条拟插值能否在这些函数空间中实现最佳可能的收敛速率？
• RQ5 稀疏网格结构与重构函数的选择如何影响采样恢复与积分中的误差？

主要发现

• 该论文确定了在稀疏网格上，$B^a_{p, heta}$与$B^{eta,eta}_{p, heta}$空间中函数的最优采样恢复误差的渐近阶。
• 所构造的采样算法$L_n(X_n^*, \tilde{\boldsymbol{\theta}}_n^*, \cdot)$在给定平滑性类中实现了最佳可能的收敛速率。
• 渐近误差被显式计算，并表明其依赖于各向异性平滑性参数$a$和可积性$p$。
• 相同的构造方法可导出与采样恢复问题具有相同渐近误差率的最优积分公式。
• 在稀疏网格上使用B样条拟插值确保了稳定性与最优逼近性质。
• 结果将最优恢复理论推广至非等向与混合平滑性空间，填补了稀疏网格方法在该领域文献中的空白。