[论文解读] Sarnak's Conjecture -- what's new

S. Ferenczi, Joanna Kułaga-Przymus+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Analytic Number Theory Research被引用 7

一句话总结

本文全面综述了过去七年中与萨尔纳克关于Möbius不相交性的遍历理论相关进展。它建立了 Chowla 猜想、Möbius 不相交性与动力系统之间的联系，表明通过 Furstenberg 的不相交性理论，Chowla 猜想可推出 Sarnak 的猜想，并在特定条件下证明了 $\mathscr{B}$-自由集的多项式多重递归性。

ABSTRACT

An overview of last seven years results concerning Sarnak's conjecture on Möbius disjointness is presented, focusing on ergodic theory aspects of the conjecture.

研究动机与目标

• 综述2010至2017年间与萨尔纳克关于Möbius不相交性猜想相关的遍历理论研究现状。
• 通过遍历理论方法阐明Chowla猜想对Sarnak猜想的推论关系。
• 分析与Möbius函数和Liouville函数相关的Furstenberg系统的动力学性质。
• 研究MOMO与AOP性质作为在各种动力系统中建立Möbius不相交性的工具。
• 将多项式递归性结果推广至$\mathscr{B}$-自由集及其乘性函数的水平集。

提出的方法

• 利用KBSZ准则和Frantzikinakis定理，分析Möbius函数对某测度为拟通用时的遍历性。
• 应用短区间上的Davenport型估计与对数Chowla猜想，推导出乘性函数的均方界。
• 运用Furstenberg的不相交性理论，将Chowla猜想与零熵系统中Möbius不相交性联系起来。
• 应用变分原理，将Sarnak猜想重新表述为具有零Kolmogorov-Sinai熵的测度空间系统。
• 利用有理集与可除性概念，刻画$\mathscr{B}$-自由集中的多项式递归性。
• 应用Matom"aki与Radziwi{$}ll关于短区间中乘性函数的结果，强化了遍历与数论解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 Chowla猜想是否通过遍历理论不相交性框架推出Sarnak猜想？
• RQ2 由Möbius函数和Liouville函数生成的Furstenberg系统的动力学性质是什么？
• RQ3 在何种条件下，$\mathscr{B}$-自由集是多项式多重递归的平均集合？
• RQ4 MOMO与AOP性质如何表征动力系统中的Möbius不相交性？
• RQ5 哪些$\mathscr{B}$-自由集的自移位或乘性函数的水平集支持多项式多重递归？

主要发现

• 通过Furstenberg不相交性理论的遍历理论框架，Chowla猜想可推出Sarnak猜想。
• Frantzikinakis定理表明：若Möbius函数对某测度为拟通用，则该系统具有零熵并满足Möbius不相交性。
• 对于正密度的有理$\mathscr{B}$-自由集，可除性等价于其为多项式多重递归的平均集合。
• 若$\mathscr{B}$为紧致的，则使得${\cal F}_{\mathscr{B}} - r$为多项式多重递归平均集合的平移$r$的集合在${\cal F}_{\mathscr{B}}$中具有全密度。
• 任意正密度的乘性函数水平集的每个自移位都是多项式多重递归的平均集合。
• 对于任意沿子序列$(N_k)$具有正密度的$\mathscr{B}$-自由集，存在一个全密度子集$D \subset {\cal F}_{\mathscr{B}}$，使得对所有$r \in D$，${\cal F}_{\mathscr{B}} - r$是多项式多重递归的平均集合。