[论文解读] Sasaki manifolds, Kaehler cone manifolds and biharmonic submanifolds

Hajime Urakawa|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了Sasaki流形中的双调和Legendrian子流形与Kähler锥流形中的双调和拉格朗日锥子流形之间的对应关系。证明了锥子流形是双调和的充分必要条件是其为调和的，并表明原子流形是恰当双调和的，当且仅当其张力场是Jacobi算子的非零特征截面，且特征值等于子流形的维数。

ABSTRACT

For a Legendrian submanifold $M$ of a Sasaki manifold $N$, we study harmonicity and biharmonicity of the corresponding Lagrangian cone submanifold C(M) of a Kaehler manifold C(N). We show that, if $C(M)$ is biharmonic in C(N), then it is harmonic; and $M$ is proper biharmonic in $N$ if and only if C(M) has a non-zero eigen-section of the Jacobi operator with the eigenvalue $m=dim M$.

研究动机与目标

• 研究Sasaki流形中Legendrian子流形的双调和性与其在Kähler锥流形中对应的拉格朗日锥子流形之间的关系。
• 确定锥构造在何种条件下保持双调和性，并将其与调和性联系起来。
• 通过锥上Jacobi算子的谱性质表征恰当双调和Legendrian子流形。
• 将Takahashi型特征值定理推广至双调和映射与Sasaki几何的设定中。

提出的方法

• 利用锥构造，将Sasaki流形$N^{2m+1}$中的Legendrian子流形$M^m$映射到Kähler锥$C(N)$中的拉格朗日子流形$C(M)$。
• 应用双能量泛函的一阶和二阶变分公式，推导锥映射$\overline{\varphi}$的双调和方程。
• 在锥映射的提升丛上使用Jacobi算子$J_{\overline{\varphi}}$，分析张力场的特征截面。
• 利用具有常$J$-截面曲率$\epsilon$的Sasaki空间形式的曲率结构，简化双调和方程。
• 应用Takahashi关于Laplacian特征函数的定理，将特征值条件重新解释为子流形维数$m$的函数。
• 建立$\varphi$的恰当双调和性与张力场$\tau(\overline{\varphi})$是粗糙Laplacian$\overline{\overline{\Delta}}_{\overline{\varphi}}$的非零特征截面且特征值为$m$之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Sasaki流形$N$中的Legendrian子流形$M$的拉格朗日锥子流形$C(M)$在何种条件下是双调和的？
• RQ2 在Sasaki流形$N$中的Legendrian子流形$M$在何种条件下是恰当双调和的？
• RQ3 锥映射$\overline{\varphi}$的双调和性与原映射$\varphi$的调和性有何关系？
• RQ4 在标准球面$S^{2m+1}(1)$中，表征恰当双调和Legendrian子流形的Jacobi算子的谱条件是什么？
• RQ5 能否通过锥构造将Takahashi型特征值条件从调和映射推广至双调和设定？

主要发现

• 锥子流形$C(M)$在$C(N)$中是双调和的，当且仅当它是调和的，而这恰好发生在原Legendrian子流形$M$在$N$中是调和时。
• Legendrian子流形$\varphi: M^m \to N^{2m+1}$是恰当双调和的，当且仅当其张力场$\tau(\overline{\varphi})$是粗糙Laplacian$\overline{\overline{\Delta}}_{\overline{\varphi}}$的非零特征截面，且特征值为$m = \dim M$。
• 在标准球面$S^{2m+1}(1)$的情形下，锥映射$\overline{\varphi}: C(M) \to \mathbb{C}^{m+1}$满足$\overline{\overline{\Delta}}_{\overline{\varphi}} \tau(\overline{\varphi}) = m \tau(\overline{\varphi})$，当且仅当$\varphi$是恰当双调和的。
• 映射$\varphi$的双调和性等价于两个分量的消失：平均曲率场的粗糙Laplacian和一个曲率修正的第二基本形式项。
• 对于具有常$J$-截面曲率$\epsilon$的Sasaki空间形式，双调和条件简化为$\overline{\Delta}_{\varphi} \mathbf{H} = \frac{\epsilon(m+3) + 3(m-1)}{4} \mathbf{H}$，将$N$的几何与$\mathbf{H}$的谱性质联系起来。
• 该结果将Takahashi定理推广至双调和映射：正如最小浸入到球面的坐标函数是Laplacian的特征函数且特征值为$m$，锥映射的张力场也是粗糙Laplacian的特征截面，且具有相同的特征值$m$。