[论文解读] SAT-Based CEGAR Method for the Hamiltonian Cycle Problem Enhanced by Cut-Set Constraints

Ohashi, Ryoga, Soh, Takehide+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2025

Biofuel production and bioconversion被引用 7

一句话总结

本文介绍了FHCP挑战集，这是一个包含1001个结构上具有挑战性的哈密顿回路问题实例的基准数据集，旨在测试超越规模难度的启发式求解器。该数据集包含来自数学文献的图、特别设计的困难实例、其他NP问题的转换实例以及复合图；表现最佳的求解器Coudert和Cohen成功解决了985个实例，其中最难的实例源自坎帕诺勒吉亚问题，如Stedman Triples。

ABSTRACT

In this paper, we propose an enhancement to the SAT-based counterexample-guided abstraction refinement (CEGAR) approach for solving the Hamiltonian Cycle Problem (HCP). Many SAT-based methods for HCP have been proposed, including a CEGAR-based method that repeatedly solves a relaxed version of HCP strengthened by counterexamples. However, when the counterexample space - represented by the full set of subcycle partitions - is large, it becomes difficult to find a solution. To address this, we introduce cut-set constraints in the refinement step, replacing traditional subcycle blocking constraints. Our evaluation shows that these cut-set constraints achieve equal or better reduction in the counterexample space, making it easier to find valid solutions. We further assessed performance using all 1001 instances from the FHCP challenge set and confirmed that the proposed method solved 937 instances within 1800 seconds, outperforming both the existing eager and CEGAR encodings (which solved at most 666 instances). This demonstrates the effectiveness of incorporating cut-set constraints into SAT-based CEGAR approaches.

研究动机与目标

• 本文旨在解决哈密顿回路问题（HCP）缺乏结构上具有挑战性的基准实例的问题。
• 旨在创建一个标准化、多样化且具有挑战性的测试平台，用于评估HCP启发式算法，超越基于规模的难度。
• 目标是提供一种反映真实结构复杂性的资源，而不仅仅是图的规模大。
• 通过提供为期一年的竞赛及1001美元奖金，激励求解器开发，从而推动HCP研究。

提出的方法

• FHCP挑战集通过从四类中选取实例构建：已知的困难图族、特别设计的困难图、其他NP问题的转换，以及复合图。
• 使用领先的HCP求解器（Concorde、LKH、SLH）对图进行测试，仅保留至少有两个求解器失败的实例。
• 在构建后对实例进行随机重标记，以防止轻易识别出结构模式。
• 该集合包含广义彼得森图GP(n,2)，其恰好有三个哈密顿回路；Sheehan和Aldred的唯一哈密顿图；以及来自n皇后问题、支配集问题和Instant Insanity问题的图。
• 最具挑战性的实例源自坎帕诺勒吉亚问题，特别是仅使用bobs的Stedman Triples，这些实例对所有测试的启发式算法均表现出强抵抗性。
• 解决方案数据库和转换的源代码已公开发布于http://fhcp.edu.au/fhcpcs。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图结构会产生对最先进的启发式算法具有挑战性的HCP实例，而与规模无关？
• RQ2 不同HCP求解器（Concorde、LKH、SLH）在结构复杂实例上的表现与在规模驱动的实例上相比如何？
• RQ3 从其他NP完全问题转换而来的实例能否产生挑战标准启发式算法的困难HCP实例？
• RQ4 哪些结构特性使得某些HCP实例特别难以通过启发式方法求解？
• RQ5 预处理或分解技术在复合或结构化HCP实例上，能在多大程度上提升求解器性能？

主要发现

• FHCP挑战集包含1001个哈密顿图，所有图均已知为哈密顿图，但其设计重点在于结构难度而非规模。
• 最困难的实例源自坎帕诺勒吉亚问题，特别是Stedman Triples，其中Sted4（6930个顶点）、Sted5（5544个顶点）和Sted6（4620个顶点）最为顽固。
• Coudert和Cohen解决了1001个实例中的985个，是所有参赛者中最高的，并且是唯一成功解决Sted10和Sted20的团队。
• 未解决的16个实例全部源自Sted4、Sted5或Sted6，表明这些基于坎帕诺勒吉亚的图是结构上最具挑战性的。
• 预处理技术（如图同构检查）使得尽管密度很高，Sheehan和Aldred的唯一哈密顿图也能被高效求解。
• 本研究证实，结构复杂性——尤其是具有指数级数量回路但局部难以区分的图——仍是HCP启发式算法的主要挑战。