[论文解读] SAT Encoding of Partial Ordering Models for Graph Coloring Problems

Daniel Faber, Adalat Jabrayilov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Multi-Criteria Decision Making被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于部分排序模型的新型SAT编码方法，用于图着色问题（GCP）及其推广形式——带宽着色问题（BCP）。通过采用颜色之间的关系排序而非直接的颜色分配，该方法实现了更小的公式规模和更优的性能表现——在DIMACS和GEOM实例上求解的实例数量超过当前最先进方法，包括多个此前未解决的BCP实例，尤其在稀疏图上表现突出，且运行时间开销较低。

ABSTRACT

In this paper, we suggest new SAT encodings of the partial-ordering based ILP model for the graph coloring problem (GCP) and the bandwidth coloring problem (BCP). The GCP asks for the minimum number of colors that can be assigned to the vertices of a given graph such that each two adjacent vertices get different colors. The BCP is a generalization, where each edge has a weight that enforces a minimal "distance" between the assigned colors, and the goal is to minimize the "largest" color used. For the widely studied GCP, we experimentally compare our new SAT encoding to the state-of-the-art approaches on the DIMACS benchmark set. Our evaluation confirms that this SAT encoding is effective for sparse graphs and even outperforms the state-of-the-art on some DIMACS instances. For the BCP, our theoretical analysis shows that the partial-ordering based SAT and ILP formulations have an asymptotically smaller size than that of the classical assignment-based model. Our practical evaluation confirms not only a dominance compared to the assignment-based encodings but also to the state-of-the-art approaches on a set of benchmark instances. Up to our knowledge, we have solved several open instances of the BCP from the literature for the first time.

研究动机与目标

• 开发一种基于部分排序模型的更紧凑、高效的图着色问题（GCP）SAT编码方法。
• 将部分排序方法推广至带宽着色问题（BCP），其中边权强制要求颜色差异的最小值。
• 在标准基准测试集（DIMACS和GEOM实例）上，将所提SAT编码与最先进方法进行对比评估。
• 在SAT和ILP设置下，展示部分排序模型相较于经典赋值式公式的理论与实际优势。

提出的方法

• 该方法使用二值变量 yv,i 表示顶点 v 是否被分配颜色小于或等于颜色 i，从而在颜色上形成一种部分序关系。
• 通过将边权约束 d(e) 纳入部分排序框架，将该编码推广至BCP，确保相邻顶点满足 |c(u)−c(v)| ≥ d(e)。
• SAT编码通过部分排序逻辑的子句化转换构建，避免使用直接的颜色分配变量。
• 将该方法与经典赋值式SAT和ILP编码，以及约束规划和集合覆盖ILP模型进行比较。
• 理论分析表明，部分排序公式的渐近规模小于赋值式模型。
• 通过GitHub上的开源代码提供实现，支持可复现性，并可集成至基于SAT的框架中。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于部分排序的SAT编码是否能在稀疏图上超越经典赋值式SAT编码在图着色问题上的表现？
• RQ2 部分排序模型在带宽着色问题中是否能有效扩展，其中边权强制要求颜色差异的最小值？
• RQ3 在DIMACS和GEOM基准测试中，部分排序SAT编码与最先进方法相比，在运行时间和求解实例数量方面表现如何？
• RQ4 为何部分排序SAT编码表现占优，而其ILP对应物却表现不佳，尽管其理论结构相似？
• RQ5 部分排序模型能否求解此前未解决的带宽着色问题实例？

主要发现

• 部分排序SAT编码（POP-S）及其混合变体（POPH-S）在1小时内求解了143个DIMACS实例中的98个，优于基于赋值的SAT编码（95/143）和最先进方法。
• 在带宽着色问题中，POP-S-B和POPH-S-B SAT编码求解了33个GEOM实例中的32个，显著优于文献[5]中的约束规划方法（在24小时时限内仅求解26个实例）。
• 基于POP的SAT编码在700秒内求解了除一个之外的所有GEOM实例至最优解，其中最困难的实例（如GEOM120a）在10秒内完成求解。
• 据我们所知，本文首次报告了GEOM90b、GEOM100a、GEOM100b、GEOM110a、GEOM110b和GEOM120a的最优解——此前为开放的BCP实例。
• 理论分析证实，部分排序模型的公式规模在渐近意义上小于赋值式模型，尤其在大规模或稠密图中更具优势。
• 尽管具有理论优势，但部分排序模型的ILP公式在性能上仍逊于赋值式ILP，可能由于约束矩阵更密集，凸显了SAT与ILP性能之间的关键差异。