[论文解读] Satiation in Fisher Markets and Approximation of Nash Social Welfare

Jugal Garg, Martin Hoefer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2017

Auction Theory and Applications被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了同时具有买家效用上限和卖家收益上限的线性Fisher市场——此前未被研究过的模型——表明只有在满足“资金清算”条件时，均衡才可能存在。本文提出了一个FPTAS来计算近似均衡，证明了精确均衡问题属于PLS ∩ PPAD，且将该框架应用于实现对预算加法估值下纳什社会福利最大化的2.404-近似。

ABSTRACT

We study linear Fisher markets with satiation. In these markets, sellers have earning limits and buyers have utility limits. Beyond natural applications in economics, these markets arise in the context of maximizing Nash social welfare when allocating indivisible items to agents. In contrast to markets with either earning or utility limits, markets with both limits have not been studied before. They turn out to have fundamentally different properties. In general, the existence of competitive equilibria is not guaranteed. We identify a natural property of markets (termed money clearing) that implies existence. We show that the set of equilibria is not always convex, answering a question of Cole et al. [EC'17]. We design an FPTAS to compute an approximate equilibrium and prove that the problem of computing an exact equilibrium lies in the intersection of complexity classes PLS and PPAD. For a constant number of buyers or goods, we give a polynomial-time algorithm to compute an exact equilibrium. We show how (approximate) equilibria can be rounded and provide the first constant-factor approximation algorithm (with a factor of 2.404) for maximizing Nash social welfare when agents have budget-additive valuations. Finally, we significantly improve the approximation hardness for additive valuations to \sqrt{8/7} > 1.069 (over 1.00008 by Lee [IPL'17]).

研究动机与目标

• 研究线性Fisher市场中买家和卖家均存在饱和约束——即买家的效用上限和卖家的收益上限——扩展了以往仅考虑单一类型约束的模型。
• 确定此类市场中竞争均衡存在的条件，识别出“资金清算”是均衡存在的充分条件。
• 分析均衡的结构性质，包括均衡集的非凸性，回答了先前工作中提出的一个开放问题。
• 设计高效算法以计算近似和精确均衡，尤其在低维情形下。
• 将均衡计算应用于设计首个针对不可分物品分配中预算加法估值下最大化纳什社会福利的常数因子近似算法。

提出的方法

• 提出一个包含效用与收益上限的广义Fisher市场模型，以建模资源分配中的现实约束。
• 通过反例证明均衡集在一般情况下并非凸集，从而否定了先前工作中提出的猜想。
• 设计一种基于扰动的FPTAS，利用Lemke-Howson风格的路径追踪算法来计算近似均衡。
• 证明精确均衡问题属于PLS与PPAD的交集，表明其在最坏情况下难以计算，但在局部搜索和奇偶性论证下是可解的。
• 对于买家或商品数量为常数的情形，通过凸规划与枚举构造出多项式时间算法以计算精确均衡。
• 应用均衡舍入技术，将分数分配转换为整数分配，同时确保零价格部分的估值至少保留一半。

实验结果

研究问题

• RQ1 在同时具有效用与收益上限的Fisher市场中，竞争均衡存在的条件是什么？
• RQ2 在同时具有两类约束的市场中，均衡集是否为凸集？这如何影响算法设计？
• RQ3 我们能否高效地计算近似或精确均衡？精确问题的计算复杂度如何？
• RQ4 此类市场中的均衡如何被用于近似不可分物品分配中最大纳什社会福利？
• RQ5 在预算加法估值下，最大化纳什社会福利的最佳可能近似比是多少？与先前工作相比如何？

主要发现

• 若市场满足“资金清算”条件，则同时具有效用与收益上限的Fisher市场中，竞争均衡必然存在。
• 均衡集在一般情况下并非凸集，从而否定了[15]关于均衡集凸性的疑问。
• 此类市场中存在一个FPTAS来计算近似均衡，可在任意精度下实现高效近似。
• 精确均衡问题属于PLS与PPAD的交集，使其成为少数尚未发现多项式时间算法的问题之一。
• 当买家或商品数量为常数时，可通过凸规划与枚举构造出多项式时间算法以计算精确均衡。
• 本文首次实现了针对预算加法估值下最大化纳什社会福利的常数因子近似算法，近似比为2.404。