[论文解读] Satisfiability for two-variable logic with two successor relations on finite linear orders

Diego Figueira|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 9被引用 8

一句话总结

该论文证明了在有限线性序上，带有两个后继关系的二元一阶逻辑的有限可满足性问题可在 NExpTime 内判定，其复杂度与单个后继关系情况一致。作者提出一种新颖的归约方法，将其转化为带有置换约束的正则语言问题，证明了紧致的复杂度界限，并纠正了文献中此前存在缺陷的可判定性声明。

ABSTRACT

We study the finitary satisfiability problem for first order logic with two variables and two binary relations, corresponding to the induced successor relations of two finite linear orders. We show that the problem is decidable in NEXPTIME.

研究动机与目标

• 解决在有限线性序上，带有两个后继关系的二元一阶逻辑的可判定性与复杂度问题。
• 纠正先前研究中声称的 2 NExpTime 复杂度界限的错误可判定性证明。
• 为该逻辑中的有限可满足性问题建立紧致的 NExpTime 上限。
• 将结果推广至带有两个后继关系的二元存在性一阶逻辑。

提出的方法

• 将具有两个线性序的有限结构表示为带赋值的置换，以支持组合分析。
• 引入“指纹”概念，以抽象方式捕捉结构中最大块的局部类型。
• 定义一个带有置换约束的正则语言问题（RLP），以编码可满足性问题。
• 通过指纹的一致性检查，将逻辑的可满足性问题归约为 RLP 实例。
• 使用非确定性猜测指纹与摘要集合，在每个指纹上以多项式时间验证其与公式的相容性。
• 证明 RLP 实例有解当且仅当原公式是有限可满足的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限线性序上，带有两个后继关系的二元一阶逻辑的有限可满足性问题是否可判定？
• RQ2 该可满足性问题的确切复杂度是什么？
• RQ3 此前声称的 2 NExpTime 可判定性结果是否可修正？若可修正，最紧致的复杂度界限是什么？
• RQ4 该结果是否可推广至带有两个后继关系的二元存在性一阶逻辑？
• RQ5 该方法能否推广至多于两个后继关系的情形？

主要发现

• 在有限线性序上，带有两个后继关系的 FO² 的有限可满足性问题可在 NExpTime 内判定。
• NExpTime 上限是紧致的，因为该问题为 NExpTime-难。
• 本文提供了正确的可判定性证明，修正了文献[12]中先前存在缺陷的论证。
• 该结果可推广至在有限线性序上带有两个后继关系的二元存在性一阶逻辑。
• 该证明依赖于一种新颖的归约方法，即将问题转化为带有置换约束的正则语言问题，该问题被证明可在 NP 时间内判定。
• 该方法采用基于指纹的抽象化与一致性检查，以高效验证公式在有限结构上的满足性。