[论文解读] Sato-Tate groups of abelian threefolds

Francesc Fité, Kiran S. Kedlaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文对数域上阿贝尔三倍的 Sato–Tate 群进行了分类，证明在共轭意义下恰好存在 410 个可能的群，其中 33 个为极大群。作者利用 Hodge 理论、有限线性群的分类以及 Shimura 的 CM 类型理论，排除了 23 个候选群，并通过计算工具和显式构造出实现极大群的阿贝尔三倍，验证了其余 410 个群。

ABSTRACT

Given an abelian variety over a number field, its Sato-Tate group is a compact Lie group which conjecturally controls the distribution of Euler factors of the L-function of the abelian variety. It was previously shown by Fité, Kedlaya, Rotger, and Sutherland that there are 52 groups (up to conjugation) that occur as Sato-Tate groups of abelian surfaces over number fields; we show here that for abelian threefolds, there are 410 possible Sato-Tate groups, of which 33 are maximal with respect to inclusions of finite index. We enumerate candidate groups using the Hodge-theoretic construction of Sato-Tate groups, the classification of degree-3 finite linear groups by Blichfeldt, Dickson, and Miller, and a careful analysis of Shimura's theory of CM types that rules out 23 candidate groups; we cross-check this using extensive computations in Gap, SageMath, and Magma. To show that these 410 groups all occur, we exhibit explicit examples of abelian threefolds realizing each of the 33 maximal groups; we also compute moments of the corresponding distributions and numerically confirm that they are consistent with the statistics of the associated L-functions.

研究动机与目标

• 对数域上阿贝尔三倍的所有可能 Sato–Tate 群进行分类，扩展此前对阿贝尔曲面的研究。
• 确定 USp(6) 的哪些紧致李子群可作为阿贝尔三倍的 Sato–Tate 群出现。
• 利用 Hodge 理论约束和 Shimura 的 CM 类型理论，识别并排除不合理的候选群。
• 显式构造出实现全部 33 个极大 Sato–Tate 群的阿贝尔三倍。
• 数值验证 Sato–Tate 分布的矩统计量与相应 L 函数所预测的统计量一致。

提出的方法

• 应用 Hodge 理论构造 Sato–Tate 群，从 Tate 模上的 Hodge 结构生成候选群。
• 利用 Blichfeldt、Dickson 和 Miller 对 3 次有限线性群的分类，枚举可能的辛类型有限群。
• 应用 Shimura 的 CM 类型理论，排除 23 个候选群，因为它们无法在阿贝尔三倍上实现兼容的 CM 类型。
• 通过在 GAP、SageMath 和 Magma 中进行大量计算，交叉验证剩余的 410 个候选群。
• 通过模形式和超几何构造，在数域上显式构造出实现全部 33 个极大 Sato–Tate 群的阿贝尔三倍。
• 计算 Sato–Tate 分布的矩，并与相应 L 函数的统计量进行数值比较，以确认一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数域上，作为阿贝尔三倍不变量的 Sato–Tate 群最多有多少个不同的群？
• RQ2 Hodge 理论构造出的候选群中，哪些在几何上是可实现的？
• RQ3 在阿贝尔三倍的背景下，哪些候选群因 CM 类型理论的约束而被排除？
• RQ4 能否显式构造出实现每个极大 Sato–Tate 群的阿贝尔三倍？
• RQ5 Sato–Tate 分布的矩统计量是否与所构造阿贝尔三倍的 L 函数所预期的统计量一致？

主要发现

• 在 USp(6) 中，作为数域上阿贝尔三倍不变量的 Sato–Tate 群恰好有 410 个，且在共轭意义下唯一。
• 在这些 410 个群中，有 33 个是有限指数包含意义下的极大群，每个群对应唯一的阿贝尔三倍等价类。
• 根据 Shimura 理论，有 23 个候选群因要求其关联的 CM 类型必须能在阿贝尔三倍上实现而被排除。
• 在数域上显式构造出实现全部 33 个极大 Sato–Tate 群的阿贝尔三倍，证实了其几何可实现性。
• 对 Sato–Tate 分布的矩进行数值计算，结果与关联 L 函数的统计量完全一致，支持了这些情形下的 Sato–Tate 猜想。
• 通过计算代数系统（包括 GAP、SageMath 和 Magma）对分类结果进行交叉验证，确保了枚举结果的稳健性。