[论文解读] Sato-Tate theorem for families and low-lying zeros of automorphic $L$-functions

Sug Woo Shin, Nicolas Templier|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2012

Advanced Algebra and Geometry被引用 12

一句话总结

本文利用朗兰兹函子性原理与半单群上的调和分析，建立了数域上自守表示族的定量 Sato-Tate 等分布定理。证明了相关 L-函数的低阶零点分布与随机矩阵系综的 1-阶密度一致——具体为酉型、辛型或正交型，取决于伽罗瓦表示的弗罗贝尼乌斯-施劳尔指标，从而在广泛的自守设定下验证了 Katz–Sarnak 的直觉猜想。

ABSTRACT

We consider certain families of automorphic representations over number fields arising from the principle of functoriality of Langlands. Let $G$ be a reductive group over a number field $F$ which admits discrete series representations at infinity. Let $^{L}G=\\hat G \ times \\mathrm{Gal}(\\bar F/F)$ be the associated $L$-group and $r:{}^L G\ o \\mathrm{GL}(d,\\mathbb{C})$ a continuous homomorphism which is irreducible and does not factor through $\\mathrm{Gal}(\\bar F/F)$. The families under consideration consist of discrete automorphic representations of $G(\\mathbb{A}_F)$ of given weight and level and we let either the weight or the level grow to infinity. We establish a quantitative Plancherel and a quantitative Sato-Tate equidistribution theorem for the Satake parameters of these families. This generalizes earlier results in the subject, notably of Sarnak [Progr. Math. 70 (1987), 321--331.] and Serre [J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), no. 1, 75--102.]. As an application we study the distribution of the low-lying zeros of the associated family of $L$-functions $L(s,\\pi,r)$, assuming from the principle of functoriality that these $L$-functions are automorphic. We find that the distribution of the 1-level densities coincides with the distribution of the 1-level densities of eigenvalues of one of the Unitary, Symplectic and Orthogonal ensembles, in accordance with the Katz-Sarnak heuristics. We provide a criterion based on the Frobenius--Schur indicator to determine this Symmetry type. If $r$ is not isomorphic to its dual $r^\\vee$ then the Symmetry type is Unitary. Otherwise there is a bilinear form on $\\mathbb{C}^d$ which realizes the isomorphism between $r$ and $r^\\vee$. If the bilinear form is symmetric (resp. alternating) then $r$ is real (resp. quaternionic) and the Symmetry type is Symplectic (resp. Orthogonal).

研究动机与目标

• 通过函子性与调和分析，将 Sato-Tate 等分布推广至数域上自守表示族。
• 为水平或权增长的族中 Satake 参数建立定量普朗歇尔测度与 Sato-Tate 等分布。
• 通过关联伽罗瓦表示的弗罗贝尼乌斯-施劳尔指标，确定 L-函数低阶零点分布的对称性类型（酉型、辛型或正交型）。
• 为 Katz–Sarnak 直觉猜想在数域设定下提供理论基础，扩展了此前在函数域与经典情形的结果。

提出的方法

• 利用朗兰兹函子性原理，构造 $G(\mathbb{A}_F)$ 上具有固定权与水平的离散自守表示族。
• 应用迹公式与半单群上的调和分析，推导出无分歧谱上的定量普朗歇尔测度。
• 通过 Satake 变换与轨道积分估计，控制族中 Satake 参数的分布。
• 在 $\widehat{T}/\Omega$ 上建立 Satake 参数关于自然测度的等分布，推广了 Sarnak 与 Serre 的早期结果。
• 应用动机积分与可定义集理论，对族中轨道积分建立一致有界性。
• 利用表示 $r$ 的弗罗贝尼乌斯-施劳尔指标，对低阶零点分布的对称性类型进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在水平或权增长的自守表示族中，Satake 参数的分布行为如何？
• RQ2 L(s,\pi,r) 的低阶零点在多大程度上符合随机矩阵系综的 1-阶密度？
• RQ3 此类族中低阶零点分布的对称性类型（酉型、辛型或正交型）由什么决定？
• RQ4 能否利用函子性，为数域上一般半单群的 Sato-Tate 等分布建立定量结果？
• RQ5 如何对族中轨道积分建立一致有界性，以支持等分布与密度定理？

主要发现

• 该族自守表示的 Satake 参数在 $\widehat{T}/\Omega$ 上关于自然测度等分布，推广了经典 Sato-Tate 猜想。
• L(s,\pi,r) 的低阶零点的 1-阶密度与酉型、辛型或正交型系综一致，具体取决于 $r$ 的弗罗贝尼乌斯-施劳尔指标。
• 若 $r$ 非自对偶，则对称性类型为酉型；若 $r \cong r^\vee$ 且不变形式为对称（相应为反对称），则类型为辛型（相应为正交型）。
• 本文为无分歧谱提供了具有显式误差界之定量普朗歇尔测度，扩展了 Sarnak 与 Serre 的结果。
• 通过动机积分与可定义集理论，建立了轨道积分的一致有界性，使得正特征情形的有界性可传递至零特征情形。
• 主要结果在广泛的自守背景下验证了 Katz–Sarnak 直觉猜想，基于表示论不变量提供了对称性类型的判别准则。