[论文解读] Saturation and recurrence of quantum complexity in random local quantum dynamics

Michał Oszmaniec, Kotowski, Marcin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文证明，在随机局部量子电路中，量子复杂度在系统尺寸的指数时间内达到最大值，并在二重指数时间尺度上发生递归，证实了布朗与苏斯金的猜想。分析基于哈尓测度与高阶近似酉设计之间的联系，表明足够深度的随机电路会收敛至这些设计，从而实现对复杂度动力学的严格界限。

ABSTRACT

Quantum complexity is a measure of the minimal number of elementary operations required to approximately prepare a given state or unitary channel. Recently, this concept has found applications beyond quantum computing -- in studying the dynamics of quantum many-body systems and the long-time properties of AdS black holes. In this context Brown and Susskind \cite{BrownSusskind17} conjectured that the complexity of a chaotic quantum system grows linearly in time up to times exponential in the system size, saturating at a maximal value, and remaining maximally complex until undergoing recurrences at doubly-exponential times. In this work we prove the saturation and recurrence of complexity in two models of chaotic time evolutions based on (i) random local quantum circuits and (ii) stochastic local Hamiltonian evolution. Our results advance an understanding of the long-time behaviour of chaotic quantum systems and could shed light on the physics of black hole interiors. From a technical perspective our results are based on establishing new quantitative connections between the Haar measure and high-degree approximate designs, as well as the fact that random quantum circuits of sufficiently high depth converge to approximate designs.

研究动机与目标

• 严格建立布朗与苏斯金所猜想的混沌量子系统中量子线路复杂度的饱和与递归。
• 独立于门集与相互作用几何结构，分析随机局部量子电路的长期复杂度动力学。
• 通过定量关联哈尓测度性质与线路深度及复杂度演化，弥合量子复杂度理论与随机矩阵理论及近似设计之间的鸿沟。
• 通过随机电路的通用模型，为理解黑洞内部与量子多体系统的复杂度提供技术基础。

提出的方法

• 作者使用随机局部酉电路对混沌时间演化进行建模，即在每个时间步对一组量子比特应用一个随机酉操作。
• 他们建立了酉群上的哈尓测度与高阶近似酉设计之间的定量联系，表明深度随机电路会收敛至此类设计。
• 利用威利积分公式，他们将酉群中复杂度环带的体积表示为特征值分布与单位圆上弧长的关系。
• 通过几何与概率论证推导出酉群中环带体积的界限，尤其利用了圆周上随机点最短弧长的分布。
• 关键技术工具是基于特征值弧长与函数 $ f(x) = 4\arcsin(x/2) $（将距离映射为弧长）的、关于与单位元距离的环带体积的新型上界。
• 递归性的证明依赖于有限维酉群上的庞加莱递归原理，结合测度集中性与体积衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机局部量子电路中，量子复杂度是否在系统尺寸的指数时间后达到最大值？
• RQ2 能否在二重指数时间尺度上严格建立复杂度回归到平凡值的递归现象？
• RQ3 深度足够的随机量子电路在多大程度上近似酉设计？这与复杂度动力学有何关联？
• RQ4 哈尓测度与特征值弧长分布如何约束酉群中复杂度环带的体积？
• RQ5 线路深度、复杂度增长与近似设计收敛之间的精确定量关系为何？

主要发现

• 在随机局部量子电路中，量子复杂度在时间 $ t_{\text{sat}} = \exp(\Theta(n)) $ 后达到其最大值，其中 $ n $ 为量子比特数。
• 复杂度在该最大值维持至时间 $ t_{\text{rec}} = \exp(\exp(\Theta(n))) $ 时发生递归，回归至低复杂度，与庞加莱递归原理一致。
• 与单位元距离不超过 $ \kappa $ 的酉群集合的体积被限制为 $ (2\lambda\kappa)^{d^2 - 1}(\lambda - 1) $，为复杂度环带提供了定量控制。
• 深度足够的随机量子电路收敛至高阶近似酉设计，使哈尓测度近似可应用于复杂度分析。
• 利用随机酉矩阵特征值所包含的最短弧长分布，对复杂度环带体积进行上界估计，其中弧长与到单位元的钻石范数距离直接相关。
• 该分析对任意局部门集与相互作用几何结构均成立，表明随机电路模型中复杂度动力学的普遍性。