[论文解读] Scalable Bayesian Hamiltonian learning

T. J. Evans, Robin Harper+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 2被引用 15

一句话总结

本文提出了贝叶斯哈密顿学习（BHL），这是一种可扩展的、自适应的贝叶斯框架，通过利用多个输入态、控制场和先验信息，克服了以往哈密顿算符估计方法的局限性，实现了对量子系统哈密顿算符的精确、不确定性感知重建，即使在非通用或非局域相互作用的情况下亦可适用。该方法在理论上证明了样本复杂度的缩放关系为 $\tilde{O}(n^{3k}/(\varepsilon\Delta)^{3/2})$，适用于 $k$-体哈密顿算符。

ABSTRACT

As the size of quantum devices continues to grow, the development of scalable methods to characterise and diagnose noise is becoming an increasingly important problem. Recent methods have shown how to efficiently estimate Hamiltonians in principle, but they are poorly conditioned and can only characterize the system up to a scalar factor, making them difficult to use in practice. In this work we present a Bayesian methodology, called Bayesian Hamiltonian Learning (BHL), that addresses both of these issues by making use of any or all, of the following: well-characterised experimental control of Hamiltonian couplings, the preparation of multiple states, and the availability of any prior information for the Hamiltonian. Importantly, BHL can be used online as an adaptive measurement protocol, updating estimates and their corresponding uncertainties as experimental data become available. In addition, we show that multiple input states and control fields enable BHL to reconstruct Hamiltonians that are neither generic nor spatially local. We demonstrate the scalability and accuracy of our method with numerical simulations on up to 100 qubits. These practical results are complemented by several theoretical contributions. We prove that a $k$-body Hamiltonian $H$ whose correlation matrix has a spectral gap $Δ$ can be estimated to precision $\varepsilon$ with only $ ilde{O}\bigl(n^{3k}/(\varepsilon Δ)^{3/2}\bigr)$ measurements. We use two subroutines that may be of independent interest: First, an algorithm to approximate a steady state of $H$ starting from an arbitrary input that converges factorially in the number of samples; and second, an algorithm to estimate the expectation values of $m$ Pauli operators with weight $\le k$ to precision $ε$ using only $O(ε^{-2} 3^k \log m)$ measurements, which quadratically improves a recent result by Cotler and Wilczek.

研究动机与目标

• 解决现有哈密顿学习方法的实际局限性，这些方法病态且仅能以标量因子恢复哈密顿算符。
• 实现在包含非通用和非空间局域相互作用的大规模量子系统中，哈密顿算符的精确且可扩展的重建。
• 整合先验知识、多个输入态和实验控制，以提升估计保真度与鲁棒性。
• 开发一种在线自适应测量协议，随着数据累积实时更新估计值与不确定性。
• 在现实物理假设下，为准确的哈密顿算符重建提供理论上的样本复杂度界。

提出的方法

• 构建一个贝叶斯模型，将关于哈密顿算符的先验知识纳入其中，并利用顺序实验数据更新信念。
• 使用多个输入态和控制场增强可辨识性，实现对非通用或非局域形式哈密顿算符的重建。
• 采用基于四分之一的估计方法，通过重复采样来估计与哈密顿算符相关的核算符 $K$ 的矩阵元。
• 利用一种快速收敛的算法，从任意初始态近似计算哈密顿算符的稳态，其收敛速度在样本数上呈阶乘级。
• 应用一种新颖的测量协议，使用 $O(\epsilon^{-2}3^k \log m)$ 次测量估计 $m$ 个权重 $\leq k$ 的泡利算符期望值，优于先前工作。
• 通过自适应选择时间与样本数，优化采样误差与四分之一误差之间的权衡，最小化总测量成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝叶斯推断能否用于克服大规模量子系统中哈密顿算符估计的病态性与标量模糊性？
• RQ2 如何系统性地结合先验信息、多个输入态与控制场，以超越空间局域或通用模型，提升哈密顿算符重建性能？
• RQ3 在现实噪声与有限样本约束下，哈密顿算符学习中测量成本与估计精度之间的最优权衡是什么？
• RQ4 该方法能否实现自适应与在线处理，随着新数据到达实时更新估计值与不确定性？
• RQ5 对于 $k$-体与 $k$-局部哈密顿算符，能否证明准确重建的理论样本复杂度界？

主要发现

• 该方法在精度 $\varepsilon$ 下重建 $k$-体哈密顿算符的样本复杂度为 $\tilde{O}(n^{3k}/(\varepsilon\Delta)^{3/2})$，其中 $\Delta$ 为能隙。
• 对于 $D$ 维空间中的 $k$-局部哈密顿算符，样本复杂度缩放为 $O\bigl(\frac{n^{3}k^{3D}3^{2k}}{\varepsilon^{3/2}\Delta^{3/2}}\sqrt{\log(n^{3}k^{3D}/(\delta\sqrt{\varepsilon\Delta}))}\bigr)$。
• 该算法在估计 $m$ 个泡利算符期望值时，相比近期由 Cotler 和 Wilczek 的结果实现了二次改进，仅需 $O(\epsilon^{-2}3^k \log m)$ 次测量。
• 稳态近似子程序在样本数上呈阶乘收敛，显著加速了收敛速度，优于标准方法。
• 数值模拟表明，该方法在高达 100 量子比特的系统中仍保持可扩展性与准确性，验证了理论界。
• 该框架支持在线自适应学习，可随着新数据的到达持续更新哈密顿算符估计值及其不确定性。