[论文解读] Scalable Computation of Energy Functions for Nonlinear Balanced Truncation

Boris Kramer, Serkan Gugercin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 6

一句话总结

本论文提出了一种可扩展的、基于泰勒级数的方法，通过结构化线性张量系统求解参数化汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，实现非线性平衡截断中能量函数的计算。该方法能够对大规模非线性系统实现高保真度的多项式近似，计算其H∞能量函数，已在Burgers方程和Kuramoto-Sivashinsky PDE上完成验证，系统状态数达1,024，多项式阶数达6阶，成功实现对数十亿未知数的收敛与高效计算。

ABSTRACT

Nonlinear balanced truncation is a model order reduction technique that reduces the dimension of nonlinear systems in a manner that accounts for either open- or closed-loop observability and controllability aspects of the system. A computational challenges that has so far prevented its deployment on large-scale systems is that the energy functions required for characterization of controllability and observability are solutions of various high-dimensional Hamilton-Jacobi-(Bellman) equations, which are computationally intractable in high dimensions. This work proposes a unifying and scalable approach to this challenge by considering a Taylor-series-based approximation to solve a class of parametrized Hamilton-Jacobi-Bellman equations that are at the core of nonlinear balancing. The value of a formulation parameter provides either open-loop balancing or a variety of closed-loop balancing options. To solve for the coefficients of Taylor-series approximations to the energy functions, the presented method derives a linear tensor system and heavily utilizes it to numerically solve structured linear systems with billions of unknowns. The strength and scalability of the algorithm is demonstrated on two semi-discretized partial differential equations, namely the Burgers and the Kuramoto-Sivashinsky equations.

研究动机与目标

• 解决非线性平衡截断中高维汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程计算不可行的问题。
• 通过实现参数化HJB方程的可扩展求解，突破大规模非线性系统能量函数计算的瓶颈。
• 构建统一框架，通过单一公式参数支持开环与多种闭环平衡选项。
• 在非线性系统模型降阶中实现真正能量函数的使用，避免使用二次近似或代数Gramian矩阵。
• 为第二部分奠定计算基础，后者将解决非线性平衡中的病态变换与流形近似问题。

提出的方法

• 将能量函数表述为非线性平衡截断中核心的一类参数化HJB方程的解。
• 在公式参数中使用泰勒级数展开以近似能量函数，将问题转化为求解多项式系数。
• 推导泰勒展开系数的线性张量系统，利用低秩结构处理包含数十亿未知数的系统。
• 利用张量结构，通过迭代求解器与矩阵自由运算，高效求解大规模结构化线性系统。
• 将该方法应用于半离散化PDE（Burgers方程与Kuramoto-Sivashinsky方程），采用有限元方法并转换为标准形式。
• 通过数值实验展示可扩展性，包括状态维数（n）和多项式阶数（d）的增加，表明能量函数近似具有收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效计算大规模非线性系统中H∞能量函数的高保真度多项式近似？
• RQ2 如何在保持精度的前提下降低求解参数化HJB方程的计算复杂度？
• RQ3 所提出的基于张量的线性系统求解器在系统未知数达10亿量级时的可扩展性如何？
• RQ4 在PDE半离散化系统中，能量函数近似随多项式阶数和状态维数增加的收敛特性如何？
• RQ5 该框架能否在单一统一公式中同时支持开环与闭环平衡？

主要发现

• 该方法成功计算了Burgers方程的H∞能量函数多项式近似，最高达8阶、1,024个状态，过去与未来能量函数均表现出收敛性。
• 对于Kuramoto-Sivashinsky方程，能量函数近似在n=16、d=6时收敛，且在n=1024、d=6时，${\cal E}_{d}^{+}(\mathbf{z}_{0})$稳定在约4.83附近。
• CPU时间随问题规模呈亚线性增长，优于预测的浮点运算量，表明算法具有极强的效率。
• 两种测试问题的能量函数近似在阶数与维数增加时均收敛至稳定值，表明方法具有鲁棒性与高精度。
• 张量结构线性系统使问题规模扩展至1.07×10^9个未知数，证明了其在大规模系统中的可扩展性。
• 该框架为未来实现基于真正能量函数的非线性平衡截断提供了基础，避免了二次近似与代数Gramian矩阵的使用。