[论文解读] Scalable Incremental Nonconvex Optimization Approach for Phase Retrieval from Minimal Measurements

Ji Li, Jian‐Feng Cai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用 1

一句话总结

该论文提出IncrePR，一种可扩展的增量非凸优化方法，用于从最少测量中进行相位恢复。通过间接最小化凸目标函数，经由一系列非凸更新，IncrePR 实现了全局收敛，从 $ m = 2n-1 $ 个高斯测量中实现了完美恢复，并在最先进的方法中表现出更优的重建质量，尤其在傅里叶和结构化测量设置下表现突出。

ABSTRACT

We aim to find a solution $\bm{x}\in\mathbb{R}^n/\mathbb{C}^n$ to a system of quadratic equations of the form $b_i=\lvert\langle\bm{a}_i,\bm{x} angle vert^2$, $i=1,2,\ldots,m$, e.g., the well-known phase retrieval problem, which is generally NP-hard. It has been proved that the number $m = 2n-1$ of generic random measurement vectors $\bm{a}_i\in\mathbb{R}^n$ is sufficient and necessary for uniquely determining the $n$-length real vector $\bm{x}$ up to a global sign. The uniqueness theory, however, does not provide a construction or characterization of this unique solution. As opposed to the recent nonconvex state-of-the-art solvers, we revert to the convex relaxation semidefinite programming (SDP) approach and propose to indirectly minimize the convex objective by successive and incremental nonconvex optimization, termed as exttt{IncrePR}, to overcome the excessive computation cost of typical SDP solvers. exttt{IncrePR} avoids sensitive dependence of initialization of nonconvex approaches and achieves global convergence, which makes it also promising for more general models and measurements. For real Gaussian model, exttt{IncrePR} achieves perfect recovery from $m=2n-1$ noiseless measurement and the recovery is stable from noisy measurement. When applying exttt{IncrePR} for structured (non-Gaussian) measurements, such as transmission matrix and oversampling Fourier measurement, it can also locate a reconstruction close to true reconstruction with few measurements. Extensive numerical tests show that exttt{IncrePR} outperforms other state-of-the-art methods in the sharpest phase transition of perfect recovery for Gaussian model and the best reconstruction quality for other non-Gaussian models, in particular Fourier phase retrieval.

研究动机与目标

• 解决在最少测量下（特别是 $ m = 2n-1 $ 时）求解NP难相位恢复问题的挑战，该值在理论上足以实现全局符号唯一恢复。
• 在保持凸松弛方法的全局收敛性和鲁棒性的同时，克服标准半定规划（SDP）求解器的高计算成本。
• 开发一种方法，避免传统非凸求解器对初始化的敏感依赖，从而在多种测量模型下实现可靠性能。
• 在高斯和非高斯测量设置下均实现高质量重建，包括传输矩阵和过采样傅里叶测量等结构化模型。
• 在相变锐度和重建精度方面展示最先进的性能，尤其在傅里叶相位恢复中表现优异。

提出的方法

• 提出一种新颖的增量非凸优化策略，称为IncrePR，通过一系列非凸更新间接最小化凸目标函数，从而避免完整SDP求解的计算负担。
• 利用 $ m = 2n-1 $ 个通用实测量向量 $ m{a}_i o m{x} $ 的唯一性保证，同时通过迭代非凸优化精炼避免直接求解SDP。
• 通过增量更新确保目标函数单调递减，即使子问题为非凸，仍能保持全局收敛性。
• 将该方法应用于无噪声和有噪声设置，展示其在测量噪声存在下的稳定性和鲁棒性。
• 通过在优化过程中利用其特定结构，将算法适配于结构化测量模型，如传输矩阵和过采样傅里叶变换。
• 采用逐步精炼机制，逐步改进解估计，降低对初始化的依赖，增强收敛可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种可扩展的、全局收敛的相位恢复方法，避免完整半定规划的计算成本，同时保持理论保证？
• RQ2 增量非凸优化是否能在无噪声高斯情况下，实现从 $ m = 2n-1 $ 测量中稳定且准确的恢复？
• RQ3 该方法在非高斯结构化测量模型（如傅里叶和传输矩阵设置）下的表现如何？
• RQ4 与现有最先进的求解器相比，该方法能否实现更尖锐的完美恢复相变？
• RQ5 在实际场景中，该方法对噪声的鲁棒性如何，对初始化的敏感性在多大程度上被降低？

主要发现

• IncrePR 在 $ m = 2n-1 $ 个无噪声高斯测量下实现了完美恢复，证实了理论唯一性边界的实用性。
• 该方法在有噪声设置下表现出稳定恢复，即使在测量数量有限时仍能保持高重建精度。
• 对于结构化测量模型（包括过采样傅里叶和传输矩阵设置），IncrePR 在极低测量数下即可生成接近真实信号的重建结果。
• 大量数值实验表明，IncrePR 在高斯相位恢复的相变锐度方面优于其他最先进的方法。
• 在非高斯模型中，尤其是在傅里叶相位恢复中，IncrePR 在同类方法中实现了最佳的重建质量。
• 该算法表现出全局收敛性且对初始化的敏感性较低，使其具有鲁棒性，适用于相位恢复之外的更广泛应用场景。