[论文解读] Scalable randomized benchmarking of non-Clifford gates

Andrew W. Cross, Easwar Magesan+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

该论文通过定义CNOT-二面体群$ G_{2^k} $，提出了一种可扩展的非阿贝尔量子门随机化基准测试方法，实现了对n-量子比特酉操作的高效采样、线路合成与twirling。该方法通过平均序列保真度的指数衰减，使实验能够独立估计两个噪声参数，从而实现对容错量子计算协议中逻辑非阿贝尔门的稳健表征。

ABSTRACT

Randomized benchmarking is a widely used experimental technique to characterize the average error of quantum operations. Benchmarking procedures that scale to enable characterization of $n$-qubit circuits rely on efficient procedures for manipulating those circuits and, as such, have been limited to subgroups of the Clifford group. However, universal quantum computers require additional, non-Clifford gates to approximate arbitrary unitary transformations. We define a scalable randomized benchmarking procedure over $n$-qubit unitary matrices that correspond to protected non-Clifford gates for a class of stabilizer codes. We present efficient methods for representing and composing group elements, sampling them uniformly, and synthesizing corresponding $\mathrm{poly}(n)$-sized circuits. The procedure provides experimental access to two independent parameters that together characterize the average gate fidelity of a group element.

研究动机与目标

• 将随机化基准测试从阿贝尔群扩展至非阿贝尔门，以实现在多量子比特系统中对非阿贝尔门的可扩展表征。
• 定义一个包含重要非阿贝尔操作（如$ T $、受控-$ S $、受控受控-$ Z $）的n-量子比特酉群族，这些操作与魔术态 distillation 及容错协议密切相关。
• 开发高效算法，实现对群元素的均匀采样、组合计算，以及实验实现所需的$ \mathrm{poly}(n) $大小线路的合成。
• 通过平均序列保真度的指数衰减，实现对两个独立噪声参数的实验估计，增强对态制备与测量误差的鲁棒性。
• 提供一个可扩展的框架，补充标准阿贝尔随机化基准测试，实现对领先容错量子计算架构中门的完整表征。

提出的方法

• 论文定义了CNOT-二面体群$ G_{2^k} = \langle \Lambda_{ij}(X), X(j), Z_{2^k}(j) \rangle / \langle \omega_{2^k} \rangle $，其由CNOT门、比特翻转门和$ 2^k $-相位门生成，包含关键的非阿贝尔操作。
• 建立了高效算法，用于均匀采样群元素及其逆元，从而支持基准测试中随机门序列的构建。
• 基准测试协议采用$ \ell $个随机群元素序列，随后接其逆序列，通过与最终测量算符的态重叠来测量平均序列保真度。
• 平均序列保真度呈指数衰减：$ F_{\mathrm{seq}}(\ell) = A_Z \alpha_Z^\ell + A_R \alpha_R^\ell + e_I $，其中$ \alpha_Z $和$ \alpha_R $为表征不同错误通道的独立噪声参数。
• 通过一系列对子群的twirl操作对群进行分解：$ \mathcal{P} $，$ \mathcal{X} $，$ \mathcal{Z} $，$ \bar{W}_{2^k}/\mathcal{Z} $，和$ \tilde{W}_{2^k}/\mathcal{Z} $，将通道简化为在泡利基下具有三个对角块的形式。
• 最终twirled通道为$ \mathcal{E}(\rho) = \beta_I \rho + \beta_Z \sum_{P \in \mathcal{Z} \setminus \{I\}} P\rho P + \beta_R \sum_{P \in \mathcal{P} \setminus \mathcal{Z}} P\rho P $，其中$ \alpha_Z = 1 - 4^n \beta_R $，$ \alpha_R = 1 - 2^n \beta_Z - (4^n - 2^n) \beta_R $，从而可提取出两个独立的保真度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以一种随量子比特数高效扩展的方式，将随机化基准测试扩展至非阿贝尔门？
• RQ2 如何在基准测试框架中高效地对非阿贝尔门（如$ T $、受控-$ S $、受控受控-$ Z $）进行采样与合成？
• RQ3 对非阿贝尔群进行twirl后得到的噪声通道具有何种结构？是否可分解为独立参数？
• RQ4 该基准测试流程是否可适配用于通过插值协议估计单个门保真度？
• RQ5 是否可为$ G_{2^k} $群中的序列构造$ \mathrm{poly}(n) $大小的线路，以实现实验可行性？

主要发现

• 所提出的随机化基准测试方法在$ n $上具有高效可扩展性，其线路大小与算法运行时间均受$ O(n^k) $界约束。
• 平均序列保真度表现出双参数指数衰减：$ F_{\mathrm{seq}}(\ell) = A_Z \alpha_Z^\ell + A_R \alpha_R^\ell + e_I $，其中$ \alpha_Z $和$ \alpha_R $为独立噪声参数。
• 在$ G_{2^k} $上twirl后的通道在泡利基下被简化为具有三个对角块的形式，分别对应于单位元、相位翻转（Z型）和一般泡利（R型）错误。
• 该方法使实验能够估计两个独立的平均门保真度，增强了对态制备与测量误差的鲁棒性。
• 该框架支持插值基准测试，并可应用于纠错系统中的物理与逻辑非阿贝尔门。
• 该流程在实验上可行，且与现有随机化基准测试工作流兼容，可实现对容错量子计算中门的完整表征。