[论文解读] Scalably learning quantum many-body Hamiltonians from dynamical data

Frederik Wilde, Augustine Kshetrimayum+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Quantum many-body systems被引用 14

一句话总结

本文提出了一种可扩展的、数据驱动的方法，利用张量网络和可微分量子模拟，从动力学测量数据中学习相互作用的量子多体哈密顿量。通过结合随机梯度下降与自动微分，该方法即使在数据有限的情况下也能实现精确的哈密顿量参数恢复——在1D赫伯格模型中，误差随数据集大小呈平方根倒数缩放，且系统尺寸的误差保持恒定。

ABSTRACT

The physics of a closed quantum mechanical system is governed by its Hamiltonian. However, in most practical situations, this Hamiltonian is not precisely known, and ultimately all there is are data obtained from measurements on the system. In this work, we introduce a highly scalable, data-driven approach to learning families of interacting many-body Hamiltonians from dynamical data, by bringing together techniques from gradient-based optimization from machine learning with efficient quantum state representations in terms of tensor networks. Our approach is highly practical, experimentally friendly, and intrinsically scalable to allow for system sizes of above 100 spins. In particular, we demonstrate on synthetic data that the algorithm works even if one is restricted to one simple initial state, a small number of single-qubit observables, and time evolution up to relatively short times. For the concrete example of the one-dimensional Heisenberg model our algorithm exhibits an error constant in the system size and scaling as the inverse square root of the size of the data set.

研究动机与目标

• 解决从实验动力学数据中推断未知量子多体哈密顿量的挑战，特别是在真实哈密顿量未知或仅近似已知的情况下。
• 克服传统哈密顿量学习方法的局限性，后者通常需要访问本征态、热态或长时间演化数据。
• 开发一种实用且实验友好的方法，仅需最少资源：单一初始态、少量单量子比特可观测量和短时间演化数据。
• 通过高效的量子态表示与优化技术，实现在大系统（超过100个自旋）中可扩展地学习哈密顿量参数。
• 为验证和校准模拟量子模拟器及近期量子处理器提供一个稳健的框架，通过精确识别其底层哈密顿量。

提出的方法

• 将哈密顿量学习表述为最大似然估计（MLE）问题，利用单一初始态的时间演化测量数据。
• 使用矩阵乘积态（MPS）和时间演化块消去（TEBD）算法表示时间演化量子态，实现在中等时间范围内的高效模拟。
• 采用带自动微分的随机梯度下降（SGD）优化哈密顿量参数，通过最小化观测测量结果的负对数似然函数。
• 将多个时间步的泡利基测量作为输入数据，每个数据点包含一个测量基和一个二进制结果串。
• 应用可微分量子模拟计算似然函数关于哈密顿量参数的梯度，实现时间演化过程中的端到端反向传播。
• 通过施蒂费尔流形约束处理非方阵分解（如SVD），并通过正交补空间和投影技术将梯度恢复扩展至非酉矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否仅从单一初始态和短时间动力学测量中学习多体哈密顿量的参数？
• RQ2 在仅使用最少实验数据的情况下，学习性能如何随系统尺寸和数据集大小变化？
• RQ3 能否将基于张量网络的模拟与可微分量子动力学结合，实现可扩展的、可微分的哈密顿量学习？
• RQ4 SVD分解中的规范自由度对梯度计算和学习精度有何影响？
• RQ5 在真实量子模拟环境中，面对实验噪声和有限测量资源，该方法的鲁棒性如何？

主要发现

• 该方法即使仅使用单一初始态、少量单量子比特可观测量和短时间演化数据，也能从合成数据中成功恢复1D赫伯格模型的真实参数。
• 随着系统尺寸增大，学习误差保持恒定，表明其在大系统（如>100个自旋）中具有内在可扩展性。
• 误差随数据集大小呈平方根倒数缩放，证实了高效的数据利用与收敛行为。
• 梯度计算精度极高，当SVD分解中对角分量在酉矩阵与奇异值更新之间均匀分配时性能最优。
• 该框架对矩阵分解中的规范自由度具有鲁棒性，通过适当的扩展技术可在非方阵情况下保持梯度精度。
• 该方法在实验中切实可行，适用于真实世界的量子模拟器和近期量子设备，可在无需完整态层析或长时间演化的情况下实现哈密顿量校准。