[论文解读] Scalar and mean curvature comparison via the Dirac operator

S. Cecchini, Rudolf Zeidler|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 43被引用 11

一句话总结

该论文通过狄拉克算子，针对具有边界且内部标量曲率和边界平均曲率有下界约束的紧致自旋流形，建立了精确的距离估计。论文证明了刚性定理，表明仅当度量为特定类型的共形度量（包括单连通空间形式中的环形区域）时，最优边界才能被实现，并为对数凹共形度量提供了极值性与刚性结果。

ABSTRACT

We use the Dirac operator technique to establish sharp distance estimates for compact spin manifolds under lower bounds on the scalar curvature in the interior and on the mean curvature of the boundary. In the situations we consider, we thereby give refined answers to questions on metric inequalities recently proposed by Gromov. This includes optimal estimates for Riemannian bands and for the long neck problem. In the case of bands over manifolds of non-vanishing $\hat{\mathrm{A}}$-genus, we establish a rigidity result stating that any band attaining the predicted upper bound is isometric to a particular warped product over some spin manifold admitting a parallel spinor. Furthermore, we establish scalar- and mean curvature extremality results for certain log-concave warped products. The latter includes annuli in all simply-connected space forms. On a technical level, our proofs are based on new spectral estimates for the Dirac operator augmented by a Lipschitz potential together with local boundary conditions.

研究动机与目标

• 为解决格罗莫夫近期关于标量曲率几何中度量不等式的猜想，特别是长颈问题与带状区域宽度估计问题。
• 通过引入平均曲率约束，改进黎曼带状区域与带边流形的定量估计。
• 在标量曲率与平均曲率有下界约束下，建立带状区域与测地管状邻域宽度的精确上界。
• 证明刚性结果，表明极值度量必与具有平行旋量的流形上的特定共形度量等距。
• 将洛拉尔的极值性结果推广至共形度量，特别是单连通空间形式中的环形区域。

提出的方法

• 在局部边界条件下，为耦合了Lipschitz势的狄拉克算子发展新的谱估计。
• 应用相对狄拉克丛的指标理论，检测标量曲率有界性所受的拓扑障碍。
• 利用Schrödinger-Lichnerowicz公式，将狄拉克算子的平方与标量曲率及联络拉普拉斯算子联系起来。
• 引入相对K-面积与$\widehat{\mathrm{A}}$-面积理论，检测非零不变量，从而强制实现刚性。
• 分析形如$g = \varphi^2 g_M + dx \otimes dx$的共形度量，其中$\varphi$严格对数凹，以推导极值性与刚性。
• 利用$\operatorname{sn}_\kappa$与$\operatorname{cs}_\kappa$函数的比较技术，将空间形式中的环形区域描述为共形度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足标量曲率$\mathrm{scal}_g \geq n(n-1)$且边界平均曲率不低于空间形式的黎曼带$V = M \times [-1,1]$，其宽度的精确上界是什么？
• RQ2 在何种条件下，带状度量具有刚性，即必须与特定共形度量等距？
• RQ3 能否在非零$\widehat{\mathrm{A}}$-亏格的流形上建立共形度量的标量与平均曲率极值性？
• RQ4 在边界条件中引入平均曲率如何改进长颈原理及相关猜想？
• RQ5 在单连通空间形式中，环形区域的标准度量在标量与平均曲率约束下是否为极值或刚性？

主要发现

• 对于满足$\mathrm{scal}_g \geq n(n-1)$与$\mathrm{H}_g \geq \mathrm{H}_{g_V}$的带状区域$V = M \times [-1,1]$，度量$g$必与共形度量$\varphi^2 \tilde{g}_M + dx \otimes dx$等距，其中$\mathrm{scal}_{\tilde{g}_M} = \mathrm{scal}_{g_M}$。
• 若$g_M$具有正里奇曲率，则共形度量$g_V$为标量-平均曲率刚性，即在给定曲率约束下其为唯一极值度量。
• 常曲率$\kappa$的单连通空间形式中的环形区域为标量-平均曲率刚性：任何满足$g \geq g_\kappa$、$\mathrm{scal}_g \geq \mathrm{scal}_{g_\kappa}$与$\mathrm{H}_g \geq \mathrm{H}_{g_\kappa}$的度量$g$必等于$g_\kappa$。
• 对于奇数维单连通空间形式，任何度量非零的$1$-Lipschitz带状映射$\Phi: V \to \mathrm{A}_{t_-,t_+}$，若满足相同的曲率约束，则必为等距映射。
• 空间形式中环形区域的标准度量为标量-平均曲率极值，即在所有共形度量中最小化或最大化某些曲率泛函。
• 对于$\widehat{\mathrm{A}}$-亏格非零的流形，带状区域具有刚性：任何实现宽度预测上界的度量必与具有平行旋量的流形上的共形度量等距。