[论文解读] Scalar curvature and uniruledness on projective manifolds

Gordon Heier, Bun Wong|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文证明了具有正总标量曲率的Kähler度量的射影流形是有理曲线族覆盖的（uniruled），即每个点都位于一条有理曲线上。此外，若总标量曲率为零，则该流形要么是uniruled，要么其canonical bundle为挠（torsion），从而通过标量曲率约束将微分几何的洞察延伸至双有理几何。

ABSTRACT

It is a basic tenet in complex geometry that {\it negative} curvature corresponds, in a suitable sense, to the absence of rational curves on, say, a complex projective manifold, while {\it positive} curvature corresponds to the abundance of rational curves. In this spirit, we prove in this note that a projective manifold $M$ with a Kähler metric with positive total scalar curvature is uniruled, which is equivalent to every point of $M$ being contained in a rational curve. We also prove that if $M$ possesses a Kähler metric of total scalar curvature equal to zero, then either $M$ is uniruled or its canonical line bundle is torsion. The proof of the latter theorem is partially based on the observation that if $M$ is not uniruled, then the total scalar curvatures of all Kähler metrics on $M$ must have the same sign, which is either zero or negative.

研究动机与目标

• 基于标量曲率建立复射影流形中uniruledness的微分几何判别准则。
• 将Yau关于正 Ricci 曲率蕴含Kodaira维数为−∞的结果，推广至较弱的正总标量曲率条件。
• 刻画具有零总标量曲率的射影流形，表明其要么是uniruled，要么为Calabi-Yau流形。
• 通过曲率不变量，弥合代数几何（uniruledness、canonical bundle性质）与Kähler几何（标量曲率符号）之间的鸿沟。
• 探讨标量曲率正性对有理曲线存在的影响，受Mori的bend-and-break方法及BDPP对偶定理的启发。

提出的方法

• 利用总标量曲率作为全局不变量，通过Ricci形式与Kähler形式的积分，将其与第一陈类联系起来。
• 应用Poincaré-Lelong公式，将线丛截面非零性与曲率积分关联。
• 借助BDPP04中伪有效锥与强可动锥之间的对偶性，分析canonical bundle的行为。
• 利用Berger的点态不等式，证明正全纯截面曲率蕴含正标量曲率。
• 反证法：在零总标量曲率下假设存在非平凡canonical除子，通过曲率积分消失导出矛盾。
• 定义上同调不变量 $ T(\omega) = \int_M c_1(M) \wedge \omega^{n-1} $，其与总标量曲率成比例，用于统一分析所有Kähler度量下的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Kähler度量下，正总标量曲率是否蕴含射影流形的uniruledness？
• RQ2 在Kähler度量下，零总标量曲率是否蕴含uniruled或canonical bundle为挠？
• RQ3 在非uniruled流形上，总标量曲率的符号是否在所有Kähler度量下保持不变？
• RQ4 仅凭总标量曲率的正性，是否足以保证有理曲线的存在，而无需假设Ricci曲率或双截面曲率的正性？
• RQ5 是否存在一个上同调不变量，能捕捉给定流形上所有Kähler度量下总标量曲率符号行为？

主要发现

• 具有正总标量曲率Kähler度量的射影流形是uniruled，将Yau的结果从Ricci正性推广至标量曲率正性。
• 若射影流形在某个Kähler度量下总标量曲率为零，则其要么是uniruled，要么其canonical线丛为挠。
• 对于非uniruled流形，所有Kähler度量的总标量曲率符号相同——要么为零，要么为负，表明在此情况下零总标量曲率是全局不变量。
• 上同调不变量 $ T(\omega) $（与总标量曲率成比例）恒为零当且仅当流形为Calabi-Yau，或当 $ T $ 为零时为uniruled。
• 正全纯截面曲率蕴含正标量曲率，因此此类流形亦为uniruled，提供了新的微分几何判别准则。
• canonical bundle为挠当且仅当 $ T(\omega) = 0 $ 且流形非uniruled，从而将曲率不变量与双有理几何联系起来。