[论文解读] Scalar Curvature of Manifolds with Boundaries: Natural Questions and Artificial Constructions

Misha Gromov|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 20

一句话总结

本文研究在标量曲率有界条件下，具有边界的黎曼流形上的几何约束，利用旋量几何与狄拉克算子技术，推导出关于边界平均曲率、标量曲率与边界超球半径之间关系的精确不等式。关键结果表明，对于标量曲率非负的旋量流形，边界平均曲率的下确界受 $\frac{n-1}{\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(Y)}$ 上界控制，且在欧几里得球体情况下取等；通过乘积构造，该结论可推广至负标量曲率情形。

ABSTRACT

We present several problems and results relating the scalar curvatures of manifolds with mean curvatures of their boundaries

研究动机与目标

• 确定闭黎曼流形 $Y$ 及其函数 $M$ 的必要与充分几何条件，使其能作为具有 $\mathrm{Sc}(X) \geq \sigma$ 与边界上平均曲率 $M$ 的紧致流形 $X$ 的边界。
• 研究 $\partial X$ 上的平均曲率是否足够大时，会排除非负标量曲率填充的可能性，尤其在旋量流形中。
• 基于 $\partial X$ 的几何结构与标量曲率界 $\sigma$，建立此类填充流形 $X$ 体积的下界，特别是 $\sigma = 0$ 的情形。
• 探讨具有角点的流形中平均曲率约束与二面角约束之间的类比，受极值几何猜想的启发。

提出的方法

• 利用具有边界的旋量流形 $X$ 的双重流形 $X \cup_Y X$，应用 Goette-Semmelmann 的正曲率算子度量极值定理。
• 将双重流形映射到配备正曲率算子径向度量的球面 $S^n$，借助狄拉克算子的谱理论。
• 对 $X \times S^m(R)$ 与 $R = \sqrt{m(m-1)/\sigma}$ 应用不等式 $[\mathrm{mean}]_{\mathrm{Sc} \geq 0}$，以推导 $\mathrm{Sc} < 0$ 情形。
• 引入超球半径 $\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(Y)$ 作为 $Y$ 大小的度量，通过度数非零、距离递减的映射到球面来定义。
• 考虑欧几里得球体等极值情形及其在标量曲率与平均曲率约束下的刚性。
• 提出关于体积界与标量曲率趋近于球面曲率时流形稳定性的猜想，采用内在平坦收敛与度理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 若紧致流形 $X$ 的边界 $Y$ 上的平均曲率足够大，是否可排除 $\mathrm{Sc}(X) \geq 0$ 的填充？
• RQ2 是否存在一个与边界几何与平均曲率相关的通用下界，控制具有 $\mathrm{Sc}(X) \geq \sigma$ 的填充流形 $X$ 的体积？
• RQ3 能否基于标量曲率与边界几何，对具有角点的流形的二面角给出上界，尤其在 $\mathrm{Sc}(X) \geq 0$ 情形？
• RQ4 在标量曲率非负与渐近平坦性条件下，欧几里得空间的刚性是否成立？其与 Witten 正质量定理有何关联？
• RQ5 能否建立如下情形下的体积比较：$\mathrm{Sc}(X) \geq -\varepsilon$，$\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(\partial X) \geq 1$，且 $\mathrm{mean.curv}(\partial X) \geq n-1$？

主要发现

• 对于维度为 $n$ 的紧致、定向旋量流形 $X$，满足 $\mathrm{Sc}(X) \geq -\sigma$，其边界 $\partial X$ 上平均曲率的下确界满足：对所有 $m \geq 2$，有 $\inf_{y \in Y} \mathrm{mean.curv}(Y,y) \leq \max\left(\frac{n+m-1}{\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(Y)}, \sqrt{\frac{\sigma}{m(m-1)}}\right)$，且在欧几里得球体情况下取等。
• 当 $\mathrm{Sc}(X) \geq 0$ 时，该不等式简化为 $\inf_{y \in Y} \mathrm{mean.curv}(Y,y) \leq \frac{n-1}{\mathrm{Rad}_{S^{n-1}}(Y)}$，该界为精确最优，且在 $\mathbb{R}^n$ 中的球体处取等。
• 不等式 $[\mathrm{mean}]_{\mathrm{Sc} \geq 0}$ 通过双重构造与映射到具有正曲率算子的球面得以证明，其依赖于 Goette-Semmelmann 定理。
• 提出欧几里得空间的刚性：若 $X^+$ 在紧集外同构于 $\mathbb{R}^n$ 且 $\mathrm{Sc}(X^+) \geq 0$，则 $X^+$ 同构于 $\mathbb{R}^n$，但因平滑误差，该结论的证明尚未完全成立。
• 提出一个猜想：若 $\mathrm{Sc}(X) \geq \sigma_n$，则任意从 $X$ 到 $S^n$ 的光滑面积递减映射，若将 $\partial X$ 的一个套管区域映为一点，则其度数必为零。
• 提出球面稳定性问题：若 $\mathrm{Sc}(X_i) \to n(n-1)$ 且 $\mathrm{Rad}_{S^n}(X_i) \to 1$，则 $X_i$ 应在内在平坦拓扑下收敛于 $S^n$，可能附着有细长桥接结构。