[论文解读] Scalar curvature on compact complex manifolds

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|May 7, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文對緊複流形上高多祿度度量的總陳數量曲率作出了完整特徵化，證明了緊複流形存在具有正（相應地負）數量曲率的 Hermitian 度量，當且僅當其 canonical bundle（相應地 anti-canonical bundle）不是偽有效。關鍵結果基於 Gauduchon 的共形方法與 Gauduchon 猜想的最新進展，將已知的 Kähler 結果推廣至非 Kähler 設定。

ABSTRACT

In this paper, we prove that, a compact complex manifold $X$ admits a smooth Hermitian metric with positive (resp. negative) scalar curvature if and only if $K_X$ (resp. $K_X^{-1}$) is not pseudo-effective. On the contrary, we also show that on an arbitrary compact complex manifold $X$ with complex dimension $\geq 2$, there exist smooth Hermitian metrics with positive total scalar curvature and one of the key ingredients in the proof relies on a recent solution to the Gauduchon conjecture by G. Székelyhidi, V. Tosatti and B. Weinkove.

研究动机与目标

• 確定緊複流形上是否存在具有正或負數量曲率的光滑 Hermitian 度量。
• 將 Yau 與 Heier-Wong 對總數量曲率的研究結果，由 Kähler 情形推廣至一般緊複流形。
• 特徵化 Gauduchon 度量空間上總數量曲率泛函的像。
• 建立 canonical bundle 與 anti-canonical bundle 的偽有效性與數量曲率符號之間的判別準則。

提出的方法

• 使用 Gauduchon 的共形方法，構造具有所需數量曲率性質的度量。
• 應用 Gauduchon 猜想的最新解決方案（Székelyhidi-Tosatti-Weinkove），確保具有指定體積形式的 Gauduchon 度量存在。
• 採用 Lamari 的正性準則的修改版本與 Tosatti 對非 Kähler Calabi-Yau 流形的特徵化。
• 透過在 Gauduchon 度量上使用分部積分與 Stokes 定理，分析總數量曲率泛函。
• 構造一組共形等價度量，以在某一點強化正數量曲率，並確保總數量曲率為正。
• 依賴 Bott-Chern 上同調類，將數量曲率泛函推廣至任意上同調類。

实验结果

研究问题

• RQ1 何時緊複流形會存在具有正總數量曲率的 Hermitian 度量？
• RQ2 canonical bundle 的偽有效性與數量曲率符號之間的精確關係為何？
• RQ3 Gauduchon 度量的總數量曲率能否取遍所有實數？其像由何決定？
• RQ4 在何種條件下，緊複流形會存在具有零總數量曲率的 Gauduchon 度量？
• RQ5 Kodaira 維數與具有正或負數量曲率度量的存在性之間有何互動？

主要发现

• 若 K_X 與 K_X^{-1} 均非偽有效，則 Gauduchon 度量空間上總數量曲率泛函的像恰好為 R。
• 若 K_X^{-1} 偽有效但非單位平坦，則像為 R>0；若 K_X 偽有效但非單位平坦，則像為 R<0。
• 像為 {0}，當且僅當 K_X 是單位平坦。
• 緊複流形存在具有正（相應地負）數量曲率的 Hermitian 度量，當且僅當 K_X（相應地 K_X^{-1}）非偽有效。
• 對於任一維數 ≥2 的緊複流形，均存在具有正總數量曲率的光滑 Hermitian 度量。
• 若 X 為 Kähler 流形，則存在具有正總數量曲率的共形 Kähler 度量。