[论文解读] Scalar Field in Any Dimension from the Higher Spin Gauge Theory Perspective

O. V. Shaynkman, M. A. Vasiliev|ArXiv.org|Mar 15, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用 35

一句话总结

本文使用高自旋 gauge 理论形式化，在任意维度的平坦空间和 AdS 空间中重新表述了自由标量场的动力学，将 Klein-Gordon 方程表示为通过 $\sigma_{-}$-复形的非平凡上同调条件。所提出的作用量在自由层次上等价于标准的一阶 Klein-Gordon 作用量，但引入了无限多的辅助场，并在非线性层次上生成了伪局部的、高阶导数的相互作用，特别是在 Yang-Mills 耦合中，展示了当前相互作用如何在高自旋框架下变得非局部。

ABSTRACT

We formulate the equations of motion of a free scalar field in the flat and $AdS$ space of an arbitrary dimension in the form of some "higher spin" covariant constancy conditions. Klein-Gordon equation is interpreted as a non-trivial cohomology of a certain "\sgm-complex". The action principle for a scalar field is formulated in terms of the "higher-spin" covariant derivatives for an arbitrary mass in $AdS_d$ and for a non-zero mass in the flat space. The constructed action is shown to be equivalent to the standard first-order Klein-Gordon action at the quadratic level but becomes different at the interaction level because of the presence of an infinite set of auxiliary fields which do not contribute at the free level. The example of Yang-Mills current interaction is considered in some detail. It is shown in particular how the proposed action generates the pseudolocally exact form of the matter currents in $AdS_d$.

研究动机与目标

• 使用高自旋 gauge 理论形式化，在任意维度重新表述自由标量场理论。
• 构建一个标量场的作用量原理，该作用量在自由层次上与标准 Klein-Gordon 作用量等价，但在相互作用层次上因辅助场的存在而不同。
• 推广当前相互作用中伪局部性的概念，展示在 AdS 中如何通过场重新定义使 Yang-Mills 电流变为精确的。
• 探索高自旋理论中无限阶导数相互作用的作用，及其与弦理论展开的类比。

提出的方法

• 在高维表示空间中使用高自旋协变导数 $\mathcal{D}C^A=0$ 将运动方程表述为协变常数条件。
• 引入一个 $\sigma_{-}$-复形，其上同调类编码了 Klein-Gordon 方程作为非平凡条件。
• 以高自旋协变导数表示构建作用量原理，适用于 $AdS_d$ 中的任意质量及平坦空间中的非零质量。
• 使用具有无限分量 $C^A(x)$ 的表示空间，其中大多数为辅助场，通过约束与标量场的高阶导数相关联。
• 定义一个广义协变导数 $\tilde{\mathcal{D}}$，其在物理子空间上约化为标准 $\mathcal{D}$，以确保与自由动力学的一致性。
• 通过场重新定义实现，表明在 $AdS_d$ 中 Yang-Mills 电流变为伪局部精确，其形式为高阶导数的无限级数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高自旋框架中，能否将任意维度中标量场的 Klein-Gordon 方程解释为非平凡上同调条件？
• RQ2 如何构建一个标量场的作用量原理，使其在自由层次上与标准 Klein-Gordon 作用量等价，但在非线性层次上引入不同的相互作用？
• RQ3 在高自旋启发的作用量中，辅助场的作用是什么，它们如何影响相互作用的结构？
• RQ4 高自旋理论中的当前相互作用与标准局部电流耦合有何不同，特别是在 $AdS_d$ 中？
• RQ5 高自旋作用量在多大程度上类似于具有 $\alpha'$-展开的弦理论作用量，尤其是其非局部结构方面？

主要发现

• Klein-Gordon 方程作为 $\sigma_{-}$-复形中的非平凡上同调条件出现，为动力学方程提供了群论解释。
• 所提出的动作量在二次作用量层次上与标准的一阶 Klein-Gordon 动作量等价，确保了正确的自由动力学。
• 在相互作用层次上，动作量生成了具有无限阶导数级数的伪局部相互作用，其系数涉及质量或宇宙学常数的负幂次。
• 在 Yang-Mills 耦合中，通过场重新定义，电流在 $AdS_d$ 中变为伪局部精确，将三维中的观察结果推广到任意维度。
• 该形式化表明，在高自旋理论中，当前相互作用并非基本的，与弦理论对偶性原理一致，且避免了与非局部性的冲突。
• 该构造适用于 $AdS_d$ 中的任意质量及平坦空间中的非零质量，对于 $m^2/\lambda^2$ 的特定取值需特别注意。