[论文解读] Scalar Field Theory in Curved Momentum Space
本文通过变形标准 $φ^3$-理论费曼规则以考虑动量空间的非平凡几何结构，在弯曲动量空间中构建了一个协变标量场论，随后通过一种新颖的协变傅里叶变换推导出非局域作用量。关键结果是：该理论具有非局域相互作用，且通过在动量空间中选择原点作为基点，其动能项可被局域化。
We derive an action for scalar quantum field theory with cubic interaction in the context of relative locality. Beginning with the generating functional for standard $φ^3$--theory and the corresponding Feynman rules we modify them to account for the non--trivial geometry of momentum space. These modified rules are then used to reconstruct the generating functional and extract the action for the theory. A method for performing a covariant Fourier transform is then developed and applied to the action. We find that the transformed fields depend implicitly on a fixed point in momentum space with fields based at different points being related by a non-local transformation. The interaction term in the action is also non--local, but the kinetic term can be made local by choosing the base point to be the origin of momentum space.
研究动机与目标
- 通过重新引入 $̂$，在弯曲动量空间中构建量子场论，以扩展相对局域性框架。
- 解决相对局域性中缺乏量子场论表述的问题，此前该框架仅描述经典、非引力物理。
- 发展一种保持弯曲动量空间几何结构的协变傅里叶变换方法。
- 从变形的费曼规则重建场论作用量，确保在动量空间微分同胚下保持协变性。
- 确定所得到作用量的结构，特别是动能项与相互作用项的局域性特征。
提出的方法
- 从平坦动量空间中标准 $φ^3$-理论的生成泛函与费曼规则出发。
- 变形费曼规则，以纳入非线性加法规则 $⊕$ 以及动量空间上的非平凡度量与联络。
- 从变形规则重构生成泛函，并提取动量空间中的对应作用量。
- 利用动量空间中的基点 $p'$ 构造协变傅里叶变换，其定义基于动量空间体积形式与依赖于联络的相位因子。
- 将变换应用于作用量，得到依赖于基点 $p'$ 的场，不同基点之间的场通过非局域重定义相互关联。
- 利用动量空间中的狄拉克函数表示，验证傅里叶核的投影算子与像空间性质，确保变换的一致性。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在具有非平凡几何结构的动量空间中一致地构建量子场论，以满足相对局域性框架的要求？
- RQ2在弯曲动量空间中，具有三阶相互作用的标量场论的作用量具有何种结构？
- RQ3如何使傅里叶变换在弯曲动量空间的微分同胚下保持协变性？
- RQ4基点 $p'$ 在定义场构型及其非局域关系中起什么作用？
- RQ5在非平凡动量空间几何下，何种条件下可使作用量中的动能项实现局域化？
主要发现
- 由于弯曲动量空间几何的影响，时空中重构的作用量是非局域的，其中相互作用项明确地具有非局域性。
- 通过选择动量空间的原点作为基点 $p'$，动能项可被局域化。
- 在动量空间中不同基点处定义的场通过非局域变换相互关联，意味着存在一族连续的量子场论。
- 协变傅里叶变换通过动量空间体积形式与依赖于联络的相位因子构造，确保在微分同胚下保持协变性。
- 在动量空间中对狄拉克函数的表示被验证为投影算子，并显示其像空间与傅里叶变换相同，从而确认了变换的一致性。
- 该理论的非局域性通过相互作用项中非结合与非交换的 $⋆$-乘积编码，该乘积源于变形的加法规则 $⊕$。
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