[论文解读] Scalar fields in the nonsymmetric Kaluza-Klein (Jordan-Thiry) theory

M. W. Kalinowski|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 142被引用 8

一句话总结

本文推导了非对称Kaluza-Klein（Jordan-Thiry）理论中规范场张量 $ L^n_{\omega\mu} $ 与 $ H^n_{\mu\nu} $ 的显式表达式，通过Levi-Civita张量将其与三维矢量场 $ \vec{E}^a $、$ \vec{B}^a $、$ \vec{D}^a $ 和 $ \vec{H}^a $ 关联。其核心贡献在于提出了一种张量形式，将Kaluza-Klein规范场映射为三维空间中的电磁类物理量，从而在高维引力理论中实现了标量场与规范场的几何统一。

ABSTRACT

In this paper we construct the Nonsymmetric Jordan-Thiry Theory unifying N.G.T., the Yang-Mills' field, the Higgs' fields and scalar forces in a geometric manner. In this way we get masses from higher dimensions. We discuss spontaneous symmetry breaking, the Higgs' mechanism and a mass generation in the theory. The scalar field (as in the classical Jordan-Thiry Theory) is connected to the effective gravitational constant. This field is massive and has Yukawa-type behaviour. We derive the equation of motion for a test particle from conservation laws in the hydrodynamic limit. We consider a truncation procedure for a tower of massive scalar fields using Friedrichs' theory and an approximation procedure for the lagrangian involving Higgs' field. The geodetic equations on the Jordan-Thiry manifold are considered with an emphasis to terms involving Higgs' field. We consider also field equations in linear approximation. We consider a dynamics of Higgs' field in the framework of cosmological models involving the scalar field. The scalar field plays here a role of a quintessence field. We consider phase transition in cosmological models of the second and the first order. We consider a warp factor known from some modern approaches. We consider a toy model of a time-machine. We consider a mass of a quintessence particle, various properties of a quintessence field. We calculate a speed of sound in a quintessence and fluctuations of a quintessence caused by primordial metric fluctuations.

研究动机与目标

• 推导非对称Kaluza-Klein（Jordan-Thiry）理论中场强 $ L^n_{\omega\mu} $ 的显式表达式。
• 将场强 $ H^n_{\mu\nu} $ 与 $ L^n_{\mu\nu} $ 用三维矢量场 $ \vec{E}^a $、$ \vec{B}^a $、$ \vec{D}^a $ 和 $ \vec{H}^a $ 表示。
• 利用Levi-Civita符号建立Kaluza-Klein规范场与三维空间中电磁类场之间的几何对应关系。
• 提供一个张量框架，实现在非对称度规的高维引力理论中对标量场与规范场的统一描述。

提出的方法

• 从式（5.22）出发，利用度规 $ g_{\mu\nu} $、非对称联络 $ \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} $，以及五维度规的对称部分 $ h_{ab} $ 与反对称部分 $ k_{ab} $ 推导 $ L^n_{\omega\mu} $。
• 引入三维矢量场 $ \vec{E}^a $、$ \vec{B}^a $、$ \vec{D}^a $ 与 $ \vec{H}^a $，分别表示场强 $ H^n_{\mu\nu} $ 与 $ L^n_{\mu\nu} $ 的分量。
• 利用Levi-Civita符号 $ \varepsilon_{\bar{a}\bar{b}\bar{c}} $ 通过对偶化关系将场强与三维矢量场关联：$ B_{\bar{a}}^a = -\frac{1}{2} \varepsilon_{\bar{a}}{}^{\bar{b}\bar{c}} H_{bc}^a $。
• 通过度规 $ g^{\omega\tau} $ 与 $ g^{\nu\varepsilon} $ 的指标提升，由 $ L^n_{\omega\nu} $ 得到 $ L^{n\tau\varepsilon} $。
• 将 $ H^n_{\mu\nu} $ 与 $ L^n_{\mu\nu} $ 定义为分量由三维矢量场导出的4×4反对称矩阵。
• 建立对偶关系：$ H^{\bar{a}a} = -\frac{1}{2} \varepsilon^{\bar{a}}{}_{\!\bar{b}\bar{c}} L^{a\bar{b}\bar{c}} $ 与 $ L^{a\bar{c}\bar{m}} = -\varepsilon^{\bar{c}\bar{m}}{}_{\!\bar{e}} H^{\bar{e}a} $，确保场强与矢量场之间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非对称Kaluza-Klein理论中，场强 $ L^n_{\omega\mu} $ 如何用几何场与规范场显式表达？
• RQ2 在3+1维分解中，五维Kaluza-Klein场强与三维电磁类矢量场之间的确切映射关系是什么？
• RQ3 Levi-Civita符号 $ \varepsilon_{\bar{a}\bar{b}\bar{c}} $ 及其对偶如何将反对称场强与矢量场 $ \vec{E}^a $、$ \vec{B}^a $、$ \vec{D}^a $ 与 $ \vec{H}^a $ 关联？
• RQ4 五维度规的对称部分与反对称部分在定义场强及其对偶性中起什么作用？
• RQ5 能否通过张量对偶性系统性地将Kaluza-Klein规范场重表述为三维矢量场形式？

主要发现

• 场强 $ L^n_{\omega\mu} $ 被显式推导为度规 $ g_{\mu\nu} $、对称部分 $ h_{ab} $、反对称部分 $ k_{ab} $ 与联络系数的函数，其表达式复杂，涉及多重缩并与度规逆元。
• 场强 $ H^n_{\mu\nu} $ 表示为4×4反对称矩阵，其分量与三维矢量场 $ \vec{E}^a $ 与 $ \vec{B}^a $ 直接相关，其中 $ H^n_{\mu\nu} $ 编码了规范场的电与磁分量。
• 场强 $ L^n_{\mu\nu} $ 同样以 $ \vec{D}^a $ 与 $ \vec{H}^a $ 表示为4×4反对称矩阵，且满足 $ D^{\bar{a}a} = L^{a4\bar{a}} $ 与 $ H^{\bar{a}a} = -\frac{1}{2} \varepsilon^{\bar{a}}{}_{\!\bar{b}\bar{c}} L^{a\bar{b}\bar{c}} $，确立了对偶关系。
• 对偶关系 $ B_{\bar{a}}^a = -\frac{1}{2} \varepsilon_{\bar{a}}{}^{\bar{b}\bar{c}} H_{bc}^a $ 与 $ H^{\bar{a}a} = -\frac{1}{2} \varepsilon^{\bar{a}}{}_{\!\bar{b}\bar{c}} L^{a\bar{b}\bar{c}} $ 被显式导出，表明三维矢量场表示的一致性。
• 场强 $ L^n_{\omega\mu} $ 显示出对五维度规及其逆元的依赖，包含 $ \mu $、$ h_{ab} $、$ k_{ab} $ 与联络 $ \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} $ 的项，表明引力场与规范场之间存在非平凡耦合。
• 该形式体系建立了五维Kaluza-Klein场与三维电磁类场之间的完整张量对应关系，使得标量场与规范场可基于三维矢量势获得几何解释。