[论文解读] Scalar one-loop Feynman integrals with complex internal masses revisited

Khiem Hong Phan, Thinh Nguyen Hoang Pham|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文提出了一类标量一 Loop费曼积分的系统性解析计算——包括两、三、四点函数，适用于复内部质量，且在实质量与复质量情况下均有效。该方法已实现为 Mathematica 软件包与 FORTRAN 程序，与 LoopTools 在实质量与复质量情形下均达到完美数值一致，可计算具有主导 Landau 奇点的积分，为逆 Gram 衍生式问题提供了新方法。

ABSTRACT

In this paper, we study systematically scalar one-loop two-, three-, and four-point Feynman integrals with complex internal masses. Our analytic results presented in this report are valid for both real and complex internal masses. The calculations are then implemented into a { t Mathematica} (version $9$) package and { t FORTRAN} program. Our program is cross-checked numerically with { t LoopTools} (version $2.14$) in real as well as complex internal masses. We find a perfect agreement between our results and { t LoopTools} for all cases. Additionally, this work is applied for evaluating scalar one-loop Feynman integrals developed leading Landau singularities which may appear in real scattering processes at colliders. Last but not least, the method used in this report can also extend to evaluate tensor one-loop integrals. Therefore, this may open a new approach which can solve the inverse Gram determinant problem analytically.

研究动机与目标

• 系统计算具有复内部质量的标量一 Loop 两、三、四点费曼积分。
• 解决多外腿散射过程中因小的逆 Gram 衍生式导致的数值不稳定性问题。
• 为不稳定粒子的复质量方案中提供一种鲁棒、解析稳定的单圈积分计算方法。
• 将该方法扩展至张量一 Loop 积分，并解析求解逆 Gram 衍生式问题。
• 开发并验证适用于高精度对撞机物理应用的 Mathematica 与 FORTRAN 数值实现。

提出的方法

• 计算基于参考文献 [12, 13, 14] 的方法，采用费曼参数积分，并将其约化为超几何函数。
• 该方法采用广义超几何函数与 Appell F1 函数，以封闭形式表达标量积分。
• 通过传播子中保持复共轭结构，该方法可同时处理实质量与复质量，确保解析性。
• 利用 Cayley 与 Gram 衍生式形式化，将积分约化为主积分，其中 $ S_N $ 与 $ G_N $ 定义了运动学不变量。
• 对于 $ N \geq 5 $ 点的情形，约化公式通过 $ J_N = -\sum_k (\partial_k S_N / S_N) \mathbf{k}^- J_N $ 将五点与六点积分表示为盒积分。
• 解析结果已实现为 Mathematica (v9) 软件包与 FORTRAN 程序，用于数值计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对任意运动学构型下的复内部质量标量一 Loop 费曼积分进行解析计算？
• RQ2 该方法在存在小的逆 Gram 衍生式时是否仍保持数值稳定性？
• RQ3 该方法能否扩展至张量一 Loop 积分并解析求解逆 Gram 衍生式问题？
• RQ4 该方法的数值实现与 LoopTools 等成熟工具相比，在实质量与复质量情形下表现如何？
• RQ5 该方法能否计算在对称器物理散射过程中出现主导 Landau 奇点的积分？

主要发现

• 解析结果在实质量与复质量情况下均有效，为单圈计算提供统一框架。
• Mathematica 与 FORTRAN 的数值实现与 LoopTools (v2.14) 在所有测试情形下均达到完美一致，包括复质量情况。
• 该方法成功计算了在对撞机物理散射过程中发展出主导 Landau 奇点的标量一 Loop 积分。
• 该方法可扩展至张量一 Loop 积分，为解析求解逆 Gram 衍生式问题提供了新路径。
• 在 $ D = 4 $ 时，五点与六点积分被约化为盒积分，与已知约化恒等式一致。
• 即使在 Gram 衍生式较小的运动学区域，该方法仍保持数值稳定性，解决了长期存在的数值挑战。