[论文解读] Scalar vacuum structure in general relativity and alternative theories. Conformal continuations

К. А. Бронников|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文研究了广义相对论及替代引力理论（标量-张量理论与高阶引力）中静态、球对称标量真空解的全局因果结构，表明只有在严格条件下，共形映射才能实现通过奇点表面的正则延拓。关键结果是：仅当共形因子或曲率函数中存在特定的高阶零点时，才能实现共形延拓——即爱因斯坦框架中的奇点映射为乔丹框架中的正则表面；否则，全局结构将如同标量场为常数的情形一样受到限制。

ABSTRACT

We discuss the global properties of static, spherically symmetric configurations of a self-gravitating real scalar field $ϕ$ in general relativity (GR), scalar-tensor theories (STT) and high-order gravity ($L=f(R)$) in various dimensions. In GR, for fields with arbitrary potentials $V(ϕ)$, not necessarily positive-definite, it is shown that the list of all possible types of space-time causal structure in the models under consideration is the same as the one for $ϕ= const$. In particular, there are no regular black holes with any asymptotics. These features are extended to STT and $f(R)$ theories, connected with GR by conformal mappings, unless there is a conformal continuation, i.e., a case when a singularity in a solution of GR maps to a regular surface in an alternative theory, and the solution is continued through such a surface. This effect is exemplified by exact solutions in GR with a massless conformal scalar field, considered as a special STT. Necessary conditions for the existence of a conformal continuation are found; they only hold for special choices of STT and high-order theories of gravity.

研究动机与目标

• 确定广义相对论及替代引力理论中静态、球对称标量真空配置是否能展现出比常数标量场情形更丰富的全局因果结构。
• 分析共形映射在连接广义相对论与标量-张量及高阶引力理论中的作用，特别是其在实现或阻碍通过奇点表面的正则延拓中的角色。
• 确定共形延拓的必要与充分条件——即一个框架中的奇点映射为另一框架中的正则表面，从而扩展时空解的全局结构。
• 确立除特殊条件外，替代引力理论中解的因果结构被限制为与常数标量场情形相同，如同广义相对论中的情况。

提出的方法

• 利用共形映射将爱因斯坦框架（带最小耦合标量场的广义相对论）与乔丹框架（标量-张量或高阶引力理论）联系起来，并相应地变换场方程。
• 在 D 个维度中应用作用量 $ S = \int d^Dx \sqrt{|g|} \left[ R + (\partial\varphi)^2 - 2V(\varphi) \right] $ 来建模广义相对论及其扩展中的标量真空配置。
• 分析爱因斯坦框架中临界表面（如 $ \rho = 0 $）附近的度量函数与标量场行为，特别关注 $ A(\rho) $、$ r(\rho) $ 与 $ F(\varphi) $ 的渐近行为。
• 推导出爱因斯坦框架中奇点表面（如曲率奇点）通过共形因子 $ F(\varphi) \sim e^{\sqrt{2/3}\varphi} $ 及其在 $ \varphi \to \infty $ 时的行为，可映射为乔丹框架中正则表面的条件。
• 通过分析 $ A(\rho)F(\varphi) $ 的零点阶数以及高阶引力中 $ R $ 与 $ f(R) $ 的行为，研究通过视界或球面延拓的可能性，特别要求 $ f(R) $ 在 $ R = R_0 \neq 0 $ 处至少具有二阶零点。
• 应用先前工作的定理（定理 3）来约束可能的因果结构列表，表明除非发生共形延拓，否则仅允许有限多个因果结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，爱因斯坦框架中的时空奇点可通过共形变换映射为乔丹框架中的正则表面？
• RQ2 标量-张量与高阶引力理论中静态、球对称标量真空解的全局因果结构与广义相对论中常数标量场情形相比如何？
• RQ3 在标量-张量与高阶引力背景下，通过乔丹框架中的球面或视界实现共形延拓的必要条件是什么？
• RQ4 在这些理论中是否存在正则黑洞或虫洞类解？其存在的具体约束条件是什么（如势能或曲率函数）？
• RQ5 为何共形延拓在大多数标量-张量与高阶引力理论中失败？哪些例外情况使其成为可能？

主要发现

• 共形延拓——即爱因斯坦框架中的奇点映射为乔丹框架中的正则表面——仅在共形因子或曲率函数满足严格条件时才可能发生。
• 在标量-张量理论中，仅当势能 $ U(\phi) $ 在 $ \phi_0 $ 处具有奇数阶零点，且 $ f(\phi_0) = 0 $ 但 $ df/d\phi(\phi_0) \neq 0 $ 时，才能通过表面 $ \phi = \phi_0 $ 实现延拓。
• 在高阶引力中，通过表面 $ R = R_0 $ 的延拓要求 $ f(R) $ 在 $ R_0 \neq 0 $ 处至少具有二阶零点，且 $ V(\varphi) \sim 1/\sqrt{\rho} $ 在奇点附近成立。
• 对于一般标量-张量与高阶引力理论，共形延拓不会发生，因此全局因果结构被限制为与常数标量场情形相同的列表，包括无法存在正则黑洞或虫洞。
• 唯一可能通过视界的延拓发生在整个爱因斯坦框架解处于 T 区域（时域区域）时，且标量势能在 $ \rho = 0 $ 附近满足 $ V(\varphi) \sim 1/\sqrt{\rho} $。
• 结果表明，大多数替代引力理论（标量-张量与高阶引力）继承了与广义相对论中最小耦合标量场相同的全局结构约束，除非在势能或曲率函数上满足特定微调条件。