[论文解读] Scale-free localization and PT symmetry breaking from local non-Hermiticity

Bo Li, He-Ran Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2023

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 44被引用 7

一句话总结

本文表明，一维哈密顿晶格中的局域非厄米扰动通常会诱导尺度无关的局域化，其中本征态衰减长度随系统尺寸而变化。当扰动位于边界有限距离处时，还会产生指数局域化的束缚态；关键的是，PT对称性破缺始终与这种局域化同时发生，且通过能带结构准则可精确预测PT对称性破缺的能量窗口。

ABSTRACT

We show that a local non-Hermitian perturbation in a Hermitian lattice system generically induces scale-free localization for the continuous-spectrum eigenstates. When the perturbation lies at a finite distance to the boundary, the scale-free eigenstates are promoted to exponentially localized modes, whose number is proportional to the distance. Furthermore, when the local non-Hermitian perturbation respects parity-time (PT) symmetry, the PT symmetry breaking is always accompanied by the emergence of scale-free or exponential localization. Intriguingly, we find a concise band-structure condition, which tells not only when the continuous-spectrum PT breaking of scale-free modes can occur, but also the precise PT-breaking energy window. Our results uncover a series of unexpected generic phenomena induced by a local non-Hermitian perturbation, which has interesting interplay with PT symmetry.

研究动机与目标

• 研究局域非厄米扰动对一维哈密顿晶格系统中本征态局域化的影响。
• 确定当非厄米项局域化时，PT对称性破缺是否以及如何在该类系统中出现。
• 建立一个通用的、基于能带结构的准则，用于预测具有尺度无关局域化的系统中的PT对称性破缺。
• 阐明在局域非厄米性下，局域化机制（尺度无关与指数）与PT对称性破缺之间的相互作用。
• 为光学晶格和耦合腔阵列等实验平台提供一个理论框架。

提出的方法

• 在开放边界条件下，使用带有边界处局域非厄米项的哈密顿量建模系统，例如 $ H = \tsum_{j} t(|j\rangle\langle j+1| + |j+1\rangle\langle j|) + ig|1\rangle\langle 1| $。
• 通过假设解 $ \psi_j(\beta) = c_1 \beta^j + c_2 \beta^{-j} $ 求解本征值问题，导出决定能谱的特征方程。
• 通过分析 $ |\beta|^L \sim O(1) $ 的渐近行为，推导出尺度无关局域化的条件，这意味着 $ |\beta| \simeq e^{c/L} $，从而得到与系统尺寸 $ L $ 成正比的衰减长度。
• 引入有限距离的非厄米杂质以产生指数局域化的束缚态，此类束缚态的数量与到边界的距离成正比。
• 应用基于能带结构的准则来预测PT对称性破缺，该准则由能谱和对称性约束推导而来，尤其在扰动保持PT对称性时适用。
• 在相反宇称模式的子空间中使用有效两能级哈密顿量，通过非厄米简并点（异常点）分析PT对称性破缺，特别是在简并存在时。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哈密顿晶格系统中，局域非厄米扰动能否诱导连续谱本征态的尺度无关局域化？
• RQ2 当局域非厄米杂质位于边界有限距离处时，其在何种条件下会产生指数局域化的束缚态？
• RQ3 PT对称性破缺与这类系统中尺度无关或局域模式的出现之间有何关系？
• RQ4 是否存在一个通用的、基于能带结构的预测准则，用于预测具有局域非厄米性的系统中的PT对称性破缺？
• RQ5 通过简并子空间中的有效低能哈密顿量，能否理解局域化与PT对称性破缺之间的相互作用？

主要发现

• 边界处的局域非厄米扰动诱导了尺度无关局域化，其中本征态的空间衰减长度与系统尺寸 $ L $ 成正比，且与系统的绝对尺度无关。
• 当非厄米项位于距离边界 $ d $ 的有限距离处时，系统支持 $ d $ 个指数局域化的束缚态，其局域长度和占据数与 $ L $ 无关。
• PT对称性破缺通常伴随着尺度无关或指数局域化模式的出现，且在PT对称性扰动下，这两种现象密不可分。
• 一个简洁的能带结构准则可确定尺度无关模式中PT对称性破缺的发生及其能量窗口，该准则在开放边界条件下有效。
• 当非厄米扰动为宇称反对称且耦合相反宇称的简并态时，PT对称性破缺的阈值趋于零，使得即使在极小的增益/损耗下也能实现PT对称性破缺。
• 数值和解析结果证实，PT破缺模式在空间上局域，且偏离系统中心；而本征态的平均位置仅在PT破缺模式下发生偏移。