[论文解读] Scale Invariance Breaking and Discrete Phase Invariance in Few-Body Problems

Satoshi Ohya|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2026

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 0

一句话总结

该论文分析了从连续尺度不变性到离散相不变性的逆平方系统中的新破缺模式，并给出三个环绕分布的 S 矩阵极点在圆环分布的少体例子。

ABSTRACT

Scale invariance in quantum mechanics can be broken in several ways. A well-known example is the breakdown of continuous scale invariance to discrete scale invariance, whose typical realization is the Efimov effect of three-body problems. Here we discuss yet another discrete symmetry to which continuous scale invariance can be broken: discrete phase invariance. We first revisit the one-body problem on the half line in the presence of an inverse-square potential -- the simplest example of nontrivial scale-invariant quantum mechanics -- and show that continuous scale invariance can be broken to discrete phase invariance in a small window of coupling constant. We also show that discrete phase invariance manifests itself as circularly distributed simple poles on Riemann sheets of the S-matrix. We then present three examples of few-body problems that exhibit discrete phase invariance. These examples are the one-body Aharonov-Bohm problem, a two-body problem of nonidentical particles in two dimensions, and a three-body problem of nonidentical particles in one dimension, all of which contain a codimension-two ``magnetic'' flux in configuration spaces.

研究动机与目标

• 研究在尺度不变的量子力学中，连续尺度不变性如何破缺为离散相不变性。
• 表征 S 矩阵的重组，包括虚轴上的对数周期性以及圆形极点分布。
• 在中间窗口内对一体逆平方问题给出精确解，并将其扩展到具有编码二维磁通的少体情形的选定情况。

提出的方法

• 分析半线上的一体哈密顿量 H = -d^2/dr^2 + λ/r^2，确定上下临界 λ 值。
• 推导保证概率守恒的边界条件，得到一个一参数自伴扩张参数 g。
• 使用由 Hankel 函数构建的 f(z) 与 ϕ(z) 基底，精确求解本征值问题，得到束缚态和散射解。
• 推导 S-matrix S(E) 并在中间窗口 λ ∈ (-1/4, 3/4) 内显示其离散相不变性。
• 证明 S(E) 在复能平面的一个或多条 Riemann 层上呈圆形分布的简单极点。
• 将分析推广到映射到逆平方样式设置的少体问题，含编码二次磁通的情形，包括阿哈罗诺夫-泊姆 (Aharonov-Bohm) 背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半线的逆平方势中，连续尺度不变性是否在中间 λ 窗口破缺为离散相不变性？
• RQ2 在这个中间窗口中，S 矩阵的精确形式及解析结构为何，极点在复能平面上如何分布？
• RQ3 逆平方势的发现如何推广到具有编码二次磁通的少体问题？
• RQ4 在该情形下维持概率守恒需要哪些边界条件和自伴扩展？

主要发现

• 在中间窗口 -1/4 < λ < 3/4 - 连续尺度不变性被破缺为离散相不变性。
• S 矩阵可精确求解，显示虚轴上的对数周期性，以及在某些 Riemann 函面上圆形分布的简单极点。
• 存在一参数的边界条件族（参数 g），可保持概率守恒并引入能量标尺 E0。
• 束缚态谱在 g > 0 时可出现单个束缚态，能量为 E0 = -|E0|；通常，在更高的 Riemann 层上出现复极结构。
• 在具有编码二次磁通的少体问题（阿哈罗诺夫-泊姆型）中，同样的离散相不变性机制出现，导致散射中出现相似的共振特征。