[论文解读] Scale invariance: fake appearances

Israel Quirós|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文主张，在引力理论中，尺度不变性仅在作用量和时空的仿射几何结构均对Weyl规范变换不变时才成立。它表明，标准黎曼几何在共形变换下会破坏尺度不变性，从而否定了许多著名理论（如ω = −3/2的Brans-Dicke引力）中关于Weyl不变性的主张，除非将时空几何提升至Weyl-可积几何，后者可在几何层面保持尺度对称性。

ABSTRACT

In this paper we shall show that, unless the affine geometrical structure of the underlying spacetime manifold is specified, there is an ambiguity in the understanding of the scale invariance -- also Weyl invariance -- of the given theory of gravity. In this regard we cast doubts on several well-known theories which are claimed to be scale-invariant setups. We shall show that in a consistent scale invariant theory not only the action but also the geometrical laws which govern the affine structure of the underlying spacetimes are invariant under the Weyl gauge transformations.

研究动机与目标

• 阐明度量引力理论中尺度不变性（Weyl不变性）真正实现的条件。
• 识别仅假设作用量的Weyl不变性、而未要求时空仿射几何结构不变的错误。
• 证明常用於尺度不变理论中的黎曼几何與完整Weyl不变性不相容，因其测地线方程不保持不变。
• 主张唯有基于Weyl-可积几何的理论才能在耦合物质场时一致地实现尺度不变性。
• 纠正文献中关于Weyl不变引力模型中测地线完备性与奇点消除的误解。

提出的方法

• 分析Levi-Civita联络在Weyl规范变换下的变换行为，以评估仿射结构的不变性。
• 比较黎曼几何与Weyl-可积几何中黎曼曲率张量和Levi-Civita联络的Weyl变换性质。
• 推导Weyl变换下测地线方程的变换形式，表明黎曼测地线不保持不变。
• 以式(1)和式(3)中的作用量作为案例研究，表明在黎曼背景中，唯有共形耦合的标量场和辐射场能与标量场一致耦合而不破坏Weyl不变性。
• 确立质量性物质场或非共形耦合的存在会引入非引力起源的5力，从而破坏Weyl不变性。
• 提出Weyl-可积几何是实现引力与物质耦合中完整Weyl不变性的必要几何框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何许多声称具有Weyl不变性的理论在引入物质场后无法维持尺度不变性？
• RQ2 时空的仿射结构如何影响度量引力理论中Weyl不变性的一致性？
• RQ3 Levi-Civita联络在共形变换下如何导致Weyl不变性的破坏？
• RQ4 为何基于黎曼几何的Weyl不变宇宙学中测地线完备性的主张是无效的？
• RQ5 若底层时空几何不具备Weyl不变性，能否存在一个一致的尺度不变引力理论？

主要发现

• 式(1)和式(3)中的作用量仅在时空几何为Weyl-可积时才具有Weyl不变性，而非黎曼几何。
• 黎曼几何破坏Weyl不变性，因为Levi-Civita联络在Weyl规范变换下非平凡变换。
• 在黎曼时空中的类时粒子测地线方程在Weyl变换下不保持不变，意味着尺度不变性被破坏。
• 唯有共形耦合的标量场和辐射场能与标量场在黎曼背景中一致耦合而不破坏Weyl不变性。
• 质量性物质场的引入会引入非引力起源的5力，明确破坏Weyl不变性。
• Weyl-可积几何是实现完整Weyl不变引力理论的必要条件，因其在Weyl变换下同时保持作用量与仿射结构不变。