[论文解读] Scaling at the onset of chaos in a network of logistic maps with two types of global coupling

Anna S. Ivanova, С. П. Кузнецов|ArXiv.org|Aug 21, 2002

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出一种具有惯性耦合与耗散耦合的全局耦合逻辑斯蒂映射网络，表明惯性耦合相比纯耗散耦合能实现更丰富的动力学行为，包括多稳定性与多簇形成。研究证实，在混沌 onset 附近存在普适的标度律，相图在费根鲍姆标度变换下表现出自相似结构，对复杂系统中的信息处理具有启示意义。

ABSTRACT

We study a network of logistic maps with two types of global coupling, inertial and dissipative. Features of the clusterization process are revealed and compared, which are associated with presence of each type of couplings. For the parameter region near the onset of chaos we outline scaling properties in dynamical behavior of the network and illustrate them on the Kaneko phase diagrams.

研究动机与目标

• 研究具有两种不同类型全局耦合（惯性与耗散）的逻辑斯蒂映射网络的动力学行为。
• 比较两种耦合类型所引发的簇化现象与相空间结构，尤其关注混沌 onset 附近的行为。
• 在相图中建立普适标度性质的存在性，将已知的费根鲍姆标度推广至全局耦合系统。
• 通过评估其动力学丰富性与稳定性特征，评估此类网络在信息处理方面的潜力。
• 验证重整化群（RG）标度律在耦合映射网络中的适用性，超越单个映射或映射格点的范围。

提出的方法

• 构建包含两个全局耦合项的耦合逻辑斯蒂映射系统：一个线性（惯性）项与一个非线性（耗散）项，使用平均场 $ F_n^{(1)} = N^{-1} \sum x_n(j) $ 与 $ F_n^{(2)} = N^{-1} \sum f(x_n(j)) $。
• 采用神户的相位分类法（C, O, PO, T），基于随机初始条件集合的簇统计结果进行分类。
• 应用费根鲍姆标度：对参数进行变换 $ \lambda \to \lambda + \frac{\lambda - \lambda_c}{\delta} $，$ \varepsilon_I \to \frac{\varepsilon_I}{\alpha} $，$ \varepsilon_D \to \frac{\varepsilon_D}{2} $，初始条件范围 $ C \to \frac{C}{|\alpha|} $，其中 $ \alpha \approx 2.5029 $，$ \delta \approx 4.6692 $。
• 通过比较相图（图1a, 1b）与标度后的相图（图1c, 1d）来验证动力学相的标度不变性。
• 利用数值模拟，基于多次实现中簇构型的频率对相位进行分类。
• 通过固定 $ \varepsilon_2 = 0.088\varepsilon_1 $（惯性耦合）与 $ \varepsilon_1 = 0 $（纯耗散耦合）来分析耦合类型的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全局耦合逻辑斯蒂映射中，惯性耦合的引入如何改变簇化动力学，相比纯耗散耦合？
• RQ2 此前在单个映射与映射格点中观察到的普适标度律，是否可推广至具有混合耦合类型的全局耦合网络？
• RQ3 耦合类型与亚临界与近临界区域中多稳态相（O, PO）的出现之间存在何种关系？
• RQ4 在该网络模型中，相图在费根鲍姆标度变换下在多大程度上保持不变？
• RQ5 该网络的动力学丰富性，尤其是有序与部分有序相中的表现，能否被用于信息处理应用？

主要发现

• 具有惯性耦合的网络表现出显著比纯耗散情况更丰富的动力学行为，包括在亚临界区域中仍能出现有序（O）与部分有序（PO）相。
• 惯性耦合情况的相图（图1a）与标度后的版本（图1c）均显示出自相似结构，证实了在参数标度下费根鲍姆标度的有效性。
• 标度变换 $ \lambda \to \lambda + \frac{\lambda - \lambda_c}{\delta} $，$ \varepsilon_I \to \frac{\varepsilon_I}{\alpha} $，$ \varepsilon_D \to \frac{\varepsilon_D}{2} $，$ C \to \frac{C}{|\alpha|} $ 保持了相类型（如 O 或 T），且时间尺度加倍，表明存在普适标度。
• 惯性耦合情况下多簇与多稳定性现象的出现，表明其在信息存储与处理方面相比耗散情况具有更大潜力。
• 即使在远离临界点的有限距离处，标度性质依然稳健，表明其在实际应用中具有超越渐近极限的意义。
• 结果证实，费根鲍姆跃迁的普适类可延伸至全局耦合网络，暗示其在不同物理系统（如电子学、生物学、经济学）中具有广泛适用性。