[论文解读] Scaling invariant Serrin criterion via one velocity component for the Navier-Stokes equations

Wendong Wang, Di Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文為3D Navier-Stokes方程的Leray弱解建立了尺度不變的Serrin型正則性判據，證明若某一速度分量$u_3$屬於Lorentz空間$L^{q,1}(0,T;L^p(\mathbb{R}^3))$，且滿足$\frac{2}{q} + \frac{3}{p} \leq 1$與$3 < p < \infty$，則正則性得以保證。該結果透過基於單一速度分量的創新局部正則性判據，實現了完整的尺度不變性，拓展了先前的判據。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the Leray weak solution $u : \mathbb{R}^3 imes (0, T) ightarrow\mathbb{R}^3 $ of the Navier-Stokes equations is regular in $\mathbb{R}^3 imes (0,T)$ under the scaling invariant Serrin condition imposed on one component of the velocity $u_3\in L^{q,1}(0, T;L^p(\mathbb{R}^3))$ with \[ \frac{2}{q}+\frac{3}{p}\leq 1,\quad 3

研究动机与目标

• 建立基於單一速度分量的3D Navier-Stokes方程尺度不變正則性判據。
• 透過在尺度不變形式下實現完整的Serrin條件$\frac{2}{q} + \frac{3}{p} \leq 1$，彙整現有判據的缺口。
• 拓展先前未具尺度不變性或對單一速度分量要求更強可積性條件的結果。
• 為適合弱解提供新的局部正則性判據，該判據在$u_3$滿足Lorentz空間條件時可推出全局正則性。

提出的方法

• 基於速度分量$u_3$的$L^{q,1}$ Lorentz空間範數，推導適合弱解的新局部正則性判據。
• 運用緊緻性論證，將局部判據推廣至Leray弱解的全局正則性。
• 應用Lorentz空間技巧與層級集分解，控制$u_3$在時空中的增長。
• 採用時間區間的二元分解與最大函數估計，以有界$u_3$在抛物柱體上的$L^p$範數。
• 在輔助引理的證明中依賴調和函數估計，以控制壓力與速度梯度。
• 應用插值與Lorentz空間嵌入不等式，將$L^{q,1}$範數與$L^q$範數關聯，並控制臨界指數範圍。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能以單一速度分量在尺度不變的形式下實現Navier-Stokes方程正則性的Serrin條件？
• RQ2 條件$u_3 \in L^{q,1}(0,T;L^p(\mathbb{R}^3))$且$\frac{2}{q} + \frac{3}{p} \leq 1$與$3 < p < \infty$是否足以保證Leray弱解的全局正則性？
• RQ3 正則性判據能否在僅依賴單一速度分量的同時，保持Navier-Stokes方程尺度變換下的不變性？
• RQ4 確保正則性的單一速度分量的最優Lorentz空間條件為何？

主要发现

• 若$u_3 \in L^{q,1}(0,T;L^p(\mathbb{R}^3))$且滿足$\frac{2}{q} + \frac{3}{p} \leq 1$與$3 < p < \infty$，則Leray弱解$u$在$\mathbb{R}^3 \times (0,T)$內正則。
• 該結果具有尺度不變性，與Navier-Stokes方程在$u^\lambda(x,t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$變換下的臨界尺度一致。
• 證明依賴於基於$u_3$在Lorentz空間$L^{q,1}$中的新局部正則性判據。
• Lorentz空間$L^{q,1}$對於實現尺度不變條件至關重要；標準$L^q$空間不足以涵蓋Serrin條件的完整範圍。
• 該判據拓展了先前未具尺度不變性或需更高可積性（如$\frac{2}{q} + \frac{3}{p} < 1$或更高的$p$閾值）的結果。
• 該結果解決了長期以來關於單一分量是否足以在完整Serrin條件下保證正則性的開放問題，直至臨界點$\frac{2}{q} + \frac{3}{p} = 1$。