[论文解读] Scaling law of the drag force in dense granular media

Sonu Kumar, K. Anki Reddy+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Granular flow and fluidized beds被引用 8

一句话总结

本研究建立了致密三维颗粒介质中阻力力的普适标度律，表明 $ F_{\text{drag}} \propto (D+d)^{\phi_\mu} h^{\alpha_\mu} $，其中 $ \phi_\mu + \alpha_\mu \approx 3 $，该关系在弗劳德数范围内有效，且与深度或入侵体尺寸无关。阻力力表现出三种速度区段——准静态（$\mathrm{Fr} < 1$）、线性（$1 < \mathrm{Fr} < 5$）和二次（$\mathrm{Fr} > 5$）——过渡点分别位于 $\mathrm{Fr} \approx 1$ 和 $5$，且与 $h$ 和 $D$ 无关。

ABSTRACT

Making use of the system of pulling a spherical intruder in static three-dimensional granular media, we numerically study the scaling law for the drag force $F_{ m drag}$ acting on the moving intruder under the influence of the gravity. Suppose if the intruder of diameter $D$ immersed in a granular medium consisting of grains of average diameter $d$ is located at a depth $h$ and moves with a speed $V$, we find that $F_{ m drag}$ can be scaled as $(D+d)^{ϕ_μ} h^{α_μ}$ with two exponents $ϕ_μ$ and $α_μ$, which depend on the friction coefficient $μ$ and satisfy an approximate sum rule $ϕ_μ+α_μ\approx 3$. This scaling law is valid for the arbitrary Froude number (defined by $\mathrm{Fr}={2 V}\sqrt{{2D}/{g}}\big/(D+d)$), if $h$ is sufficiently deep. We also identify the existence of three regimes (quasistatic, linear, and quadratic) at least for frictional grains in the velocity dependence of drag force. The crossovers take place at $\mathrm{Fr}\approx 1$ between the quasistatic to the linear regimes and at $\mathrm{Fr}\approx 5$ between the linear to the quadratic regimes. We also observe that Froude numbers at which these crossovers between the regimes happen are independent of the depth $h$ and the diameter of the intruder $D$. We also report the numerical results on the average coordination number of the intruder and average contact angle as functions of intruder velocity.

研究动机与目标

• 建立类似于粘性流体流动标度的三维致密颗粒介质中阻力力的普适标度律。
• 研究阻力力如何依赖于入侵体尺寸 $D$、深度 $h$ 和速度 $V$，特别是摩擦系数 $\mu$ 变化时的影响。
• 识别阻力力速度依赖性中的不同动力学区段，并确定区段转换的弗劳德数阈值。
• 探讨材料特性（如法向刚度 $K_n^*$、阻尼 $\gamma_n^*$ 和恢复系数）对标度指数和屈服力的影响。
• 探究近似和规则 $\phi_\mu + \alpha_\mu \approx 3$ 的物理起源及其与 $\mu$ 的依赖关系。

提出的方法

• 对球形入侵体以恒定速度 $V$ 穿过由粒径为 $d$ 的多分散颗粒组成的静态三维颗粒床进行数值模拟。
• 采用带有摩擦接触定律的软球离散元法（DEM），包括法向刚度 $K_n^*$、阻尼 $\gamma_n^*$ 和恢复系数。
• 系统性地改变入侵体直径 $D$、深度 $h$、速度 $V$ 和摩擦系数 $\mu$，以探测标度行为。
• 定义弗劳德数 $\mathrm{Fr} = 2V\sqrt{2D/g}/(D+d)$ 以表征惯性效应并识别动力学区段。
• 将阻力力数据拟合至三区段模型：准静态区段为常数，线性区段为 $\mathrm{Fr}-1$ 的线性函数，二次区段为 $\mathrm{Fr}$ 的二次函数，并在过渡点处强制连续性。
• 分析配位数和接触角统计以探究 $V$ 和 $\mu$ 变化时的微观结构变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在致密三维颗粒介质中，阻力力如何随入侵体尺寸 $D$、深度 $h$ 和摩擦系数 $\mu$ 变化？
• RQ2 速度依赖的阻力力的函数形式是什么？动力学区段（准静态、线性、二次）如何出现？
• RQ3 动力学区段之间的转换发生在哪个弗劳德数？这些阈值是否与 $h$ 和 $D$ 无关？
• RQ4 为何标度指数 $\phi_\mu$ 和 $\alpha_\mu$ 满足 $\phi_\mu + \alpha_\mu \approx 3$？该和规则如何依赖于 $\mu$？
• RQ5 材料特性如 $K_n^*$、$\gamma_n^*$ 和 $\mu$ 如何影响屈服力和阻力力的动力学部分？

主要发现

• 阻力力遵循 $ F_{\text{drag}} \propto (D+d)^{\phi_\mu} h^{\alpha_\mu} $ 的标度关系，且 $ \phi_\mu + \alpha_\mu \approx 3 $，表明该关系为普适标度律，对足够深的入侵体而言与 $ h $ 和 $ D $ 无关。
• 当 $ \mu \geq 0.05 $ 时，低弗劳德数下（$ \mathrm{Fr} < 1 $）阻力力为常数，表明处于准静态区段；而当 $ \mu = 0 $ 时，阻力力仍依赖于 $ \mathrm{Fr} $，表现出明显不同的行为。
• 阻力力从准静态区段过渡到线性区段发生在 $ \mathrm{Fr} \approx 1 $，从线性区段过渡到二次区段发生在 $ \mathrm{Fr} \approx 5 $，且这些阈值与 $ h $ 和 $ D $ 无关。
• 阻力力的动力学部分可用三区段模型良好描述：在 $ 1 < \mathrm{Fr} < 5 $ 时，$ F_{\text{drag}} = \Psi \left[ 1 + \frac{25}{4} \frac{\lambda}{\Psi} (\mathrm{Fr} - 1) \right] $；在 $ \mathrm{Fr} > 5 $ 时，$ F_{\text{drag}} = \Psi (1 + \lambda \mathrm{Fr}^2) $，其中 $ \Psi $ 和 $ \lambda $ 依赖于 $ \mu $ 和 $ \gamma_n^*/K_n^{*0.6} $。
• 屈服力 $ \Psi $ 对 $ \mu $ 敏感，对 $ K_n^* $ 敏感性弱，且与 $ \gamma_n^* $ 无关，表明在零速度极限下力链形成对摩擦敏感，但对阻尼不敏感。
• 只要比值 $ \gamma_n^*/K_n^{*0.6} $ 保持不变，惯性区段对 $ K_n^* $ 和 $ \gamma_n^* $ 的变化具有不变性，表明在该标度下动力学行为可被统一归一化为单一曲线。