[论文解读] Scaling laws for non-Euclidean plates and the $W^{2,2}$ isometric immersions of Riemannian metrics

Marta Lewicka, Reza Pakzad|ArXiv.org|Jul 10, 2009

Advanced Materials and Mechanics参考文献 9被引用 17

一句话总结

本文通过引入一种修正的非线性弹性泛函，惩罚从黎曼空间到非欧几里得弹性板的等距浸入的偏差，建立了非欧几里得弹性板的尺度律。证明了缩放能量的Γ极限给出一个基于曲率的泛函，并推导出2维黎曼度量在ℝ³中存在𝑊²²等距浸入的必要和充分条件，从而在弱正则性假设下解决了长期存在的微分几何问题。

ABSTRACT

This paper concerns the elastic structures which exhibit non-zero strain at free equilibria. Many growing tissues (leaves, flowers or marine invertebrates) attain complicated configurations during their free growth. Our study departs from the 3d incompatible elasticity theory, conjectured to explain the mechanism for the spontaneous formation of non-Euclidean metrics. Recall that a smooth Riemannian metric on a simply connected domain can be realized as the pull-back metric of an orientation preserving deformation if and only if the associated Riemann curvature tensor vanishes identically. When this condition fails, one seeks a deformation yielding the closest metric realization. We set up a variational formulation of this problem by introducing the non-Euclidean version of the nonlinear elasticity functional, and establish its $Γ$-convergence under the proper scaling. As a corollary, we obtain new necessary and sufficient conditions for existence of a $W^{2,2}$ isometric immersion of a given 2d metric into $\mathbb R^3$.

研究动机与目标

• 为由于不相容目标度量而表现出自发曲率的薄板非欧几里得弹性提供变分基础。
• 通过引入一种强制保持定向变形并避免零能量病态解的修正能量，克服标准弹性泛函的失效。
• 推导当厚度ℎ → 0时，薄板最小能量的尺度律，将能量尺度与目标度量的几何可浸入性联系起来。
• 建立2维黎曼度量在ℝ³中存在𝑊²²等距浸入的必要和充分条件，将经典结果推广到更弱的正则性条件。

提出的方法

• 引入非欧几里得弹性泛函𝐼ℎ(𝑢)，用于度量拉回度量与预设目标度量𝑔𝛼𝛽的𝐿²距离，并对非保持定向的变形施加点态惩罚。
• 应用Γ收敛技术分析缩放能量𝜎ℎ → 0时的极限，其中ℎ为板的厚度。
• 推导出Γ极限，其表达为涉及第二基本形式及二次型𝑄₂和𝑄₃的曲率泛函，后者与弹性能量密度的Hessian相关。
• 基于形变梯度的泰勒展开构造恢复序列，形式为∇𝑢ℎ = 𝑄ℎ + 𝑥₃𝐴₂ℎ + (𝑥₃²/2)𝐷ℎ，确保在𝑊¹²中收敛并控制能量尺度。
• 利用几何刚性估计和框架不变性，将极限能量与目标度量的内在曲率联系起来。
• 提出𝑊²²等距浸入的新表征方法，即通过在第二基本形式上施加二次型𝑄₂使其消失，从而导出关键存在性准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 当厚度ℎ → 0时，薄非欧几里得板的最小弹性能量的正确尺度是什么？
• RQ2 缩放能量泛函的Γ极限如何与目标度量的几何结构相关？
• RQ3 在何种条件下，2维黎曼度量在ℝ³中存在𝑊²²等距浸入？
• RQ4 Γ极限能否表示为捕捉目标度量内在几何的基于曲率的泛函？
• RQ5 保持定向变形在防止不相容弹性中的零能量病态解中起什么作用？

主要发现

• 缩放能量𝜎ℎ → 0的Γ极限由一个曲率泛函给出，其中涉及对极限浸入的第二基本形式施加𝑄₂。
• 当且仅当目标度量允许在ℝ³中存在𝑊²²等距浸入时，最小能量的尺度为ℎ²，否则下确界能量严格为正。
• 𝑊²²等距浸入存在的必要和充分条件是：二次型𝑄₂在浸入的第二基本形式上消失，这意味着第二基本形式必须恒为零。
• 若极限能量为零，则极限形变𝑦 ∈ 𝑊²²(Ω, ℝ³)必须是平面的（即𝑦: Ω → ℝ²），意味着曲面位于一个平面上。
• 通过形变梯度的泰勒展开构造的恢复序列𝑢ℎ确保Γ极限与基于曲率的泛函一致，且误差项在ℎ → 0时以𝐿²意义趋于零。
• 本文通过变分框架表征𝑊²²等距浸入，解决了微分几何中长期存在的问题，将先前需要更高正则性的结果推广至更弱的正则性条件。