[论文解读] Scaling limit and aging for directed trap models

Olivier Zindy|ArXiv.org|Dec 12, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文建立了具有重尾捕获时间的一维定向陷阱模型的标度极限，其为稳定子ordinator的逆，且证明了由广义 arcsine 分布控制的衰老现象。结果证实了无序系统中衰老的普遍性，将 Ben Arous 和 Černý 的先前工作扩展至带漂移的一维情形。

ABSTRACT

We consider one-dimensional directed trap models and suppose that the trapping times are heavy-tailed. We obtain the inverse of a stable subordinator as scaling limit and prove an aging phenomenon expressed in terms of the generalized arcsine law. These results confirm the status of universality described by Ben Arous and Černý for a large class of graphs.

研究动机与目标

• 建立具有重尾捕获时间的一维定向陷阱模型的标度极限。
• 研究该模型中的衰老行为，特别是存在漂移时的情形。
• 确认 Ben Arous 和 Černý 所描述的衰老现象在不同图结构和维度下的普遍性。
• 将先前关于陷阱模型中衰老现象的研究结果扩展至具有非对称跳跃速率的一维情形。
• 严格建立陷阱模型动力学与稳定子ordinator的逆以及广义 arcsine 分布之间的联系。

提出的方法

• 将定向陷阱模型定义为在 ℤ 上的连续时间马尔可夫过程，具有非对称跳跃速率和独立同分布的重尾捕获时间。
• 使用时钟过程 S(k) = ∑_{i=0}^{k-1} τ_{Y_i} e_i 表示时间演化，其中 e_i 为独立同分布的指数随机变量。
• 分析嵌入的离散时间偏置随机游走 (Y_n)，并证明其收敛到确定性速度 v_ε = 2ε。
• 通过稳定子ordinator的逆进行时间变换，推导出 X_t 的标度极限。
• 使用耦合论证和对深层陷阱首次 hitting 时间的估计，控制逃离陷阱位置的概率。
• 通过分析长时间尺度下在深层陷阱处的占据时间联合分布，建立广义 arcsine 分布的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有重尾捕获时间的一维定向陷阱模型的标度极限是什么？
• RQ2 该模型中是否会发生衰老现象？若发生，其特征如何？
• RQ3 漂移的存在如何影响陷阱模型中的衰老行为？
• RQ4 衰老现象是否在不同图结构（包括一维晶格）中具有普遍性？
• RQ5 广义 arcsine 分布能否严格推导为该模型中极限相关函数？

主要发现

• 定向陷阱模型的标度极限是 α-稳定子ordinator的逆，其中 α ∈ (0,1) 表征捕获时间分布的尾指数。
• 通过两时间相关函数收敛到广义 arcsine 分布，证实了衰老现象。
• 极限相关函数为 sin(απ)/π ∫₀^{1/h} y^{κ−1}(1−y)^{−κ} dy，其中 κ = α 且 h > 1 为时间比。
• 过程在时间区间 t 和 th 内保持在同一深层陷阱中的概率收敛到关于 h 的非平凡函数，证实了衰老现象。
• 联合占据概率 P(X_t = δ_{ℓ_t}, X_{th} = δ_{ℓ_{th}}) 收敛到仅依赖于 h 的极限，已建立。
• 证明依赖于对深层陷阱逃离概率的控制，并利用深层陷阱数量随时间对数增长的事实。