[论文解读] Scaling limit of the local time of the $(1,L)-$random walk

Wenming Hong, Hui Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过利用 (1,L)-随机游走内在的多类型分支过程结构，建立了其局部时的标度极限。证明了标度后的局部时弱收敛于由随机微分方程控制的扩散过程，通过有限维分布收敛与紧致性，将 Rogers（1984）对简单对称随机游走（L=1）的局部时收敛结果推广至更广泛的 (1,L) 情形。

ABSTRACT

It is well known (Donsker's Invariance Principle) that the random walk converges to Brownian motion by scaling. In this paper, we will prove that the scaled local time of the $(1,L)-$random walk converges to that of the Brownian motion. The results was proved by Rogers (1984) in the case $L=1$. Our proof is based on the intrinsic multiple branching structure within the $(1,L)-$random walk revealed by Hong and Wang (2013).

研究动机与目标

• 建立 (1,L)-随机游走局部时的标度极限，该过程是简单对称随机游走的推广。
• 通过一种新颖的结构化方法，将 Rogers（1984）针对 L=1 时局部时收敛的结果扩展至 L≥2 的情形。
• 证明标度后的局部时弱收敛于求解特定随机微分方程的扩散过程。
• 利用 Hong 和 Wang（2013）揭示的内在多类型分支过程结构作为关键分析工具。

提出的方法

• 将前 N 次穿越中位置 j 处的局部时表示为一个二类型临界分支过程（L=2 时）的线性泛函，其中粒子类型对应于向 j 和 j+1 的转移。
• 利用分支过程表示法，推导标度后局部时过程的有限维分布。
• 通过验证有限维分布收敛与紧致性，证明在 Skorokhod 空间 D[0,∞) 中的弱收敛。
• 通过控制分支过程的二阶矩的矩界来建立紧致性，借鉴 Nakagawa（1986）的技术并针对多类型过程进行修改。
• 利用 Ray-Knight 定理与布朗运动的标度性质，将极限过程与布朗运动局部时的已知结果联系起来。
• 使用生成函数与条件矩母函数分析分支过程的增量，并验证分布收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的标度下，(1,L)-随机游走的局部时是否收敛于一个极限过程？如果是，该极限的性质是什么？
• RQ2 能否利用 (1,L)-随机游走中内在的多类型分支过程结构来分析局部时的标度极限？
• RQ3 局部时的标度极限如何与布朗运动的局部时相关联，特别是在 Ray-Knight 定理的背景下？
• RQ4 在 Skorokhod 拓扑下，标度后局部时过程的紧致性由什么条件保证？
• RQ5 极限过程是否为特定随机微分方程的扩散过程？其依赖于跳跃分布参数的方式如何？

主要发现

• 标度后的局部时过程 $ l_N(x) $ 在 $ D[0,\infty) $ 中弱收敛于求解 SDE $ H(x) = \frac{2}{\sigma^2} + \frac{2}{\sigma}\int_0^x (H(s)^+)^{1/2} dB_s $ 的扩散过程 $ H(x) $，其中 $ B $ 为标准布朗运动。
• 极限过程 $ H(x) $ 是一个连续状态分支过程，满足 $ H(0) = \frac{2}{\sigma^2} $，其转移密度满足 $ \int e^{-\lambda y} p_t(x,dy) = \exp\left(-x \frac{\lambda}{1 + \frac{2}{\sigma^2} \lambda t}\right) $。
• 通过矩母函数分析与时间区间的归纳法，证明了标度后局部时的有限维分布收敛于 $ H(x) $ 的有限维分布。
• 通过控制分支过程的二阶矩并验证具有 $ \gamma=2 $、$ \alpha>1 $ 的 Hölder 型条件，建立了序列 $ \{l_N\} $ 的紧致性，从而确保弱收敛。
• 极限过程 $ H(x) $ 在分布上等价于 $ \frac{1}{\sigma^2} l^*(\cdot, T) $，其中 $ l^*(x,T) = l(x,T) + l(-x,T) $，将其与首次击中水平 1 时的布朗运动局部时联系起来。
• 总质量 $ 2U_{1}(n) + U_{2}(n) $ 的二阶矩随 $ n $ 线性增长，渐近速率为 $ K_1 (U_0 \cdot \boldsymbol{\mu}) Q_2[\boldsymbol{\mu}] n $，确认了紧致性所需的矩行为。