[论文解读] Scaling of sub-ballistic 1D Random Walks among biased Random Conductances

Quentin Berger, Michele Salvi|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究在一维随机环境中，具有偏向 i.i.d. 随机导率的亚抛物随机游走，确定了使得 $\log X_n / \log n \to \alpha$ 几乎必然成立的标度指数 $\alpha \in [0,1]$。本文区分了两种模型：导率的指数倾斜（BiRC），其中 $\alpha$ 与偏向强度无关；以及受莫特可变范围跳跃启发的距离依赖偏向（R1M），其中 $\alpha$ 依赖于偏向强度。主要贡献在于精确刻画了这两种情形下亚抛物标度行为的特征。

ABSTRACT

We consider two models of one-dimensional random walks among biased i.i.d. random conductances: the first is the classical exponential tilt of the conductances, while the second comes from the effect of adding an external field to a random walk on a point process (the bias depending on the distance between points). We study the case when the walk is transient to the right but sub-ballistic, and identify the correct scaling of the random walk: we find $\\alpha \\in[0,1]$ such that $\\log X_n / \\log n \ o \\alpha$. Interestingly, $\\alpha$ does not depend on the intensity of the bias in the first case, but it does in the second case.

研究动机与目标

• 分析在游走瞬态但亚抛物（速度为零）时，一维随机游走与偏向 i.i.d. 随机导率的标度行为。
• 确定正确的标度指数 $\alpha \in [0,1]$，使得 $X_n$ 的增长类似于 $n^{\alpha + o(1)}$。
• 比较两种不同的偏向机制：导率的指数倾斜（BiRC）与受莫特可变范围跳跃启发的距离依赖偏向（R1M）。
• 确定在每种模型中，标度指数 $\alpha$ 如何依赖于偏向强度。
• 在两种模型下，利用大偏差与矩估计，建立 $\log X_n / \log n \to \alpha$ 几乎必然收敛。

提出的方法

• 将随机游走建模为在 $\mathbb{Z}$ 上的最近邻过程，其转移概率由 i.i.d. 导率 $c_i$ 和偏向参数 $\delta > 0$ 决定，使用 $\omega_i = c_i / (c_{i-1} + c_i)$。
• 分析两种不同的偏向机制：(1) 指数倾斜 $c_k \mapsto c_k e^{2k\delta}$（BiRC），以及 (2) 简化的莫特游走模型中的距离依赖偏向（R1M）。
• 应用 Zeitouni（2004）的判据以建立瞬态与零速度，依赖于 $\mathbb{E}[\log \rho_0] < 0$，其中 $\rho_i = c_{i-1}/c_i$。
• 利用大偏差估计与矩界分析关键加法泛函的尾部行为，如 $T_n = \sum_{k=1}^n \tau_k$，其中 $\tau_k$ 表示在位置 $k$ 的停留时间，以推导 $X_n$ 的标度。
• 应用 Borel-Cantelli 论证与马尔可夫不等式，证明 $T_n$ 的几乎必然界，从而得出 $\log T_n / \log n \to 1/\alpha$ 几乎必然。
• 利用矩生成函数与重尾 i.i.d. 随机变量 $Z_i$ 的尾部估计，通过 $\alpha(\lambda)$ 与 $\alpha_\infty$ 推导标度指数 $\alpha$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有偏向 i.i.d. 导率的亚抛物随机游走，正确的标度指数 $\alpha$ 是什么，使得 $X_n = n^{\alpha + o(1)}$？
• RQ2 在指数倾斜模型（BiRC）中，标度指数 $\alpha$ 如何依赖于偏向强度？
• RQ3 在距离依赖的莫特游走模型（R1M）中，标度指数 $\alpha$ 如何依赖于偏向？
• RQ4 尽管两种模型均为亚抛物，为何其标度行为不同？
• RQ5 能否通过矩估计与尾部估计，严格建立 $\log X_n / \log n \to \alpha$ 几乎必然收敛？

主要发现

• 在具有指数倾斜的 BiRC 模型中，标度指数 $\alpha$ 与偏向强度 $\delta$ 无关，仅取决于导率分布的尾部行为。
• 在具有距离依赖偏向的 R1M 模型中，标度指数 $\alpha$ 明确依赖于偏向强度，反映了偏向中空间相关性的影响。
• 本文证明了在两种模型下均有 $\log X_n / \log n \to \alpha$ 几乎必然成立，且 $\alpha \in [0,1]$，从而确认了游走的亚抛物性质。
• 对于 BiRC 模型，指数 $\alpha$ 由导率分布的尾指数 $\alpha_\infty$ 决定，当 $\alpha_\infty < 1$ 时，有 $\alpha = \alpha_\infty$。
• 对于 R1M 模型，指数 $\alpha$ 由涉及跳跃大小分布矩生成函数的变分问题的解给出，其中 $\alpha = \alpha(\lambda)$ 对某个 $\lambda$ 成立。
• 证明依赖于通过矩估计与 Borel-Cantelli 定理对首达时间 $T_n$ 的控制，表明 $T_n \leq n^{1/\alpha + o(1)}$ 几乎必然成立，从而推导出 $X_n$ 的标度行为。