[论文解读] Scaling up to Multivariate Rational Function Reconstruction

Andreas Maier|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2024

Neural Networks and Applications被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种可扩展的算法，通过将多个变量通过有策略的缩放和偏移映射到单个变量，实现从黑箱评估中重建稠密的多元有理函数，从而实现高效的单变量有理函数重构。该方法在稠密有理函数情况下，探测次数接近理论最小值——仅高出约7%，优于现有工具如FireFly和FiniteFlow在稠密情况下的表现，但在稀疏场景中仍存在性能差距。

ABSTRACT

I present an algorithm for the reconstruction of multivariate rational functions from black-box probes. The arguably most important application in high-energy physics is the calculation of multi-loop and multi-leg amplitudes, where rational functions appear as coefficients in the integration-by-parts reduction to basis integrals. I show that for a dense coefficient the algorithm is nearly optimal, in the sense that the number of required probes is close to the number of unknowns. PROGRAM SUMMARY Program title: rare CPC Library link to program files:https://doi.org/10.17632/wt228b57kw.1 Developer's repository link:https://github.com/a-maier/rare. Licensing provisions: GNU General Public License 3 Programming language: Rust Supplementary material: Comparison code to other programs is available under https://github.com/a-maier/scaling-rec and uses C++, Rust, and Wolfram Mathematica. Nature of problem: Straightforward computations of scattering amplitudes in perturbative quantum field theory suffer from large intermediate expressions. Hence, state-of-the-art approaches make heavy use of multivariate rational function reconstruction from probes in fields with a finite characteristic. In this way, only numbers with a bounded size are encountered in intermediate steps. This strategy requires efficient reconstruction algorithms. Solution method: The code provides a proof-of-concept implementation of a new rational reconstruction algorithm. The algorithm is particularly efficient for dense functions, where the number of required probes is close to the number of unknown coefficients. Additional comments including restrictions and unusual features: As customary for Rust libraries, the code is not intended for stand-alone installation, but for compilation as part of a larger program, e.g. using the Cargo package manager [1]. References: The code is compared to implementations of an algorithm by Cuyt and Lee [2,3] in FireFly[4–6] and FiniteFlow[7,8].

研究动机与目标

• 解决在费曼积分的分部积分约化中出现的多元有理函数系数重构挑战。
• 开发一种将单变量有理函数重构技术扩展到多变量的方法，同时保持效率和数值稳定性。
• 最小化在高阶幅值计算中重构有理系数所需的黑箱函数评估次数（探测次数）。
• 在真实世界的高能物理实例上评估该算法的性能，并与最先进的工具如FireFly和FiniteFlow进行比较。
• 识别在稀疏情况下的局限性，并提出未来将变量映射与稀疏重构技术结合的研究方向。

提出的方法

• 使用精心选择的缩放幂次和偏移量，将n个多元变量映射到单个变量，以确保可逆性。
• 对变换后的单变量应用基于Thiele连分式插值的单变量有理函数重构。
• 使用递归算法从探测评估中计算辅助系数，采用无除法变体以提高数值稳定性。
• 确保映射保留原始多元多项式的结构，从而实现分子和分母系数的精确重构。
• 利用稠密有理函数中所需探测次数趋近于未知系数数量的事实。
• 将该方法应用于实际的幅值约化问题，包括一个大规模的四圈传播子和一个二圈五点幅值。

实验结果

研究问题

• RQ1 单变量有理函数重构技术能否在高能物理幅值计算中有效扩展到多元有理函数？
• RQ2 对于稠密多元有理函数，所需黑箱探测次数能多接近信息论最小值？
• RQ3 在真实物理实例中，所提出的缩放算法在探测效率上与现有工具如FireFly和FiniteFlow相比如何？
• RQ4 系数稀疏性对基于缩放的重构算法性能有何影响？
• RQ5 通过将该算法与单变量设置下的稀疏有理函数重构技术结合，能否进一步提升性能？

主要发现

• 在四圈传播子的稠密情形中，该算法仅比理论最小探测次数多约7%，表现出接近最优性。
• 在二圈双光子加胶子幅值中，该方法需要169,132次探测，超过最优值30,490的五倍以上，表明在稀疏情况下效率低下。
• FireFly在相同二圈例子中仅需163,094次探测，性能略优于所提方法，但仍远未达到最优。
• FiniteFlow表现最接近最优，使用FFPolyVandermonde方法仅需≳47,381次探测，显著优于所提算法和FireFly。
• 在去除整体单项式因子后，所提方法的探测次数保持不变，表明未从因式分解中获益，而FireFly则将探测次数减少了约20%。
• 结果表明，尽管该缩放方法在稠密有理函数中表现有效，但在稀疏场景中仍有显著改进空间，特别是当与因式分解或稀疏重构技术结合时。