[论文解读] Scattering Amplitudes and the Navier-Stokes Equation

Clifford Cheung, James Mangan|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文为由纳维-斯托克斯方程和非交换纳维-斯托克斯方程控制的不可压缩流体动力学建立了散射振幅框架，揭示了类似规范理论和非线性 sigma 模型中的软定理与 Adler 零点等普遍红外结构，通过递归关系实现壳上可构造性，并发现一种非壳上色-动量对偶性，从而实现向张量双流体理论的类经典双重复制。关键成果是在非阿贝尔和张量纳维-斯托克斯方程的单极子解中发现了类经典双重复制结构。

ABSTRACT

We explore the scattering amplitudes of fluid quanta described by the Navier-Stokes equation and its non-Abelian generalization. These amplitudes exhibit universal infrared structures analogous to the Weinberg soft theorem and the Adler zero. Furthermore, they satisfy on-shell recursion relations which together with the three-point scattering amplitude furnish a pure S-matrix formulation of incompressible fluid mechanics. Remarkably, the amplitudes of the non-Abelian Navier-Stokes equation also exhibit color-kinematics duality as an off-shell symmetry, for which the associated kinematic algebra is literally the algebra of spatial diffeomorphisms. Applying the double copy prescription, we then arrive at a new theory of a tensor bi-fluid. Finally, we present monopole solutions of the non-Abelian and tensor Navier-Stokes equations and observe a classical double copy structure.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖作用原理的不可压缩流体力学纯 S 矩阵公式，基于从纳维-斯托克斯方程导出的散射振幅。
• 研究流体散射振幅的红外结构，特别是软定理和 Adler 零点，类似于规范理论和非线性 sigma 模型中的结构。
• 利用三点振幅建立更高点振幅的壳上递归关系，证明纳维-斯托克斯理论具有壳上可构造性。
• 在非阿贝尔纳维-斯托克斯方程中发现一种非壳上色-动量对偶性，其运动学代数同构于空间微分同胚代数。
• 应用双重复制构造，推导出由张量纳维-斯托克斯方程控制的新张量双流体理论，并识别非阿贝尔和张量纳维-斯托克斯方程中单极子配置下的经典双重复制解。

提出的方法

• 使用 Wyld 形式化方法，从带有任意源的纳维-斯托克斯方程推导树图散射振幅的生成泛函，将运动方程与 S 矩阵元联系起来。
• 构建纳维-斯托克斯方程和非阿贝尔纳维-斯托克斯理论的费曼规则，在动量空间中计算显式的三点和四点散射振幅。
• 证明散射振幅中存在一个主导软定理和一个 Adler 零点，类似于规范理论和非线性 sigma 模型中的结构。
• 推导壳上递归关系，将所有更高点振幅表示为三点振幅乘积的和，从而确立壳上可构造性。
• 在非阿贝尔纳维-斯托克斯理论中识别出一种非壳上色-动量对偶性，其中运动学分子满足雅可比恒等式，且运动学代数同构于空间微分同胚代数。
• 通过将色因子替换为运动学分子，应用双重复制方案，得到一个描述具有两个独立旋转对称性的双流度自由度的张量纳维-斯托克斯方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖作用原理的情况下为纳维-斯托克斯方程建立散射振幅公式，且其是否表现出普遍的红外结构？
• RQ2 非阿贝尔纳维-斯托克斯方程的散射振幅是否满足壳上递归关系，从而表明其具有壳上可构造性？
• RQ3 非阿贝尔纳维-斯托克斯理论中是否存在非壳上色-动量对偶性，其关联的运动学代数的代数结构是什么？
• RQ4 能否将双重复制构造应用于非阿贝尔纳维-斯托克斯方程，以获得一个新的张量双流体理论？
• RQ5 非阿贝尔和张量纳维-斯托克斯方程的经典单极子解是否表现出经典双重复制结构？

主要发现

• 纳维-斯托克斯方程的散射振幅表现出一个与规范理论中 Weinberg 软定理完全相同的主导软定理，表明其具有普遍的红外行为。
• 振幅还表现出类似于非线性 sigma 模型中的 Adler 零点结构，反映了软极限下的对称性模式。
• 仅通过三点振幅即可推导出所有更高点振幅的壳上递归关系，证实纳维-斯托克斯理论具有壳上可构造性。
• 非阿贝尔纳维-斯托克斯理论表现出一种非壳上色-动量对偶性，其运动学代数同构于空间微分同胚代数。
• 将双重复制应用于非阿贝尔纳维-斯托克斯方程，可得到一个描述双流体的张量纳维-斯托克斯方程，其两个独立的旋转对称性由带横线和不带横线的指标编码。
• 非阿贝尔和张量纳维-斯托克斯方程的单极子解被发现表现出经典双重复制结构：$ u_i^a = -\frac{2\nu \rho_{aij} x_j}{r^2} $ 和 $ u_{i\bar{i}} = 2\nu \rho_{i\bar{i}} + \frac{C x_i x_{\bar{i}}}{r^4} $，其函数形式与引力中的 Kerr-Schild 双重复制一致。