[论文解读] Scattering of EM waves by many small perfectly conducting or impedance bodies

А. Г. Рамм|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文为任意形状的许多小的完美导体或阻抗体的电磁波散射建立了一套理论，表明小阻抗粒子的散射强度与 $ a^{2-\kappa} $（其中 $ \kappa \in [0,1) $）成正比，远强于完美导体粒子的 $ a^3 $ 比例。其核心贡献在于提出一种设计方法，通过在基体介质中嵌入具有特定边界阻抗和空间分布的小阻抗粒子，实现对材料有效折射率或磁导率的精确调控。

ABSTRACT

A theory of electromagnetic (EM) wave scattering by many small particles of an arbitrary shape is developed. The particles are perfectly conducting or impedance. For a small impedance particle of an arbitrary shape an explicit analytical formula is derived for the scattering amplitude. The formula holds as $a o 0$, where $a$ is a characteristic size of the small particle and the wavelength is arbitrary but fixed. The scattering amplitude for a small impedance particle is shown to be proportional to $a^{2-κ}$, where $κ\in [0,1)$ is a parameter which can be chosen by an experimenter as he/she wants. The boundary impedance of a small particle is assumed to be of the form $ζ=ha^{-κ}$, where $h=$const, Re$h\ge 0$. The scattering amplitude for a small perfectly conducting particle is proportional to $a^3$, it is much smaller than that for the small impedance particle. The many-body scattering problem is solved under the physical assumptions $a\ll d\ll λ$, where $d$ is the minimal distance between neighboring particles and $λ$ is the wavelength. The distribution law for the small impedance particles is $\mathcal{N}(δ)\sim\int_δN(x)dx$ as $a o 0$. Here $N(x)\ge 0$ is an arbitrary continuous function that can be chosen by the experimenter and $\mathcal{N}(δ)$ is the number of particles in an arbitrary sub-domain $Δ$. It is proved that the EM field in the medium where many small particles, impedance or perfectly conducting, are distributed, has a limit, as $a o 0$ and a differential equation is derived for the limiting field. On this basis the recipe is given for creating materials with a desired refraction coefficient by embedding many small impedance particles into a given material.

研究动机与目标

• 建立小尺寸任意形状导体或阻抗体电磁波散射的严格数学理论。
• 在物理条件 $ a \ll d \ll \lambda $ 下，推导粒子尺寸 $ a \to 0 $ 时散射振幅的显式解析公式。
• 建立包含大量小粒子介质中有效场的极限积分方程与微分方程。
• 提供一种实用方法，通过嵌入具有可控参数的小阻抗粒子，实现对材料有效折射率或磁导率的工程设计。
• 证明通过调节参数 $ \kappa \in [0,1) $，阻抗粒子的散射截面可显著强于完美导体粒子。

提出的方法

• 推导出任意形状小阻抗体的散射振幅显式解析公式，表明其依赖于 $ a^{2-\kappa} $，其中 $ \kappa \in [0,1) $ 可由实验者调节。
• 利用边界阻抗 $ \zeta_m = h(x_m)/a^\kappa $ 控制散射强度，其中 $ h(x) $ 连续且满足 $ \operatorname{Re} h \geq 0 $。
• 建立分布律 $ \mathcal{N}(\Delta) \sim \frac{1}{a^{2-\kappa}} \int_\Delta N(x)\,dx $，当 $ a \to 0 $ 时，通过选择 $ N(x) \geq 0 $ 实现对空间分布的任意控制。
• 通过将多体散射问题约化为线性代数系统，其解在 $ a \to 0 $ 时收敛至极限积分方程。
• 从极限场方程推导出介质中有效折射率与磁导率的显式表达式。
• 利用极限场方程，推导出有效折射率 $ n(x) $ 与磁导率 $ \mu(x) $ 的闭式表达式，二者均依赖于 $ h(x) $、$ N(x) $ 与 $ \kappa $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意形状小阻抗体的散射振幅推导出不依赖分离变量法的显式解析公式？
• RQ2 小阻抗体的散射振幅如何随粒子尺寸 $ a $ 变化？该比例关系能否独立于粒子形状进行调节？
• RQ3 在物理尺度 $ a \ll d \ll \lambda $ 下，当 $ a \to 0 $ 时，含大量小阻抗体的介质中电磁场的极限行为如何？
• RQ4 能否通过嵌入具有预定边界条件与空间分布的小阻抗粒子，设计出具有期望有效折射率的材料？
• RQ5 多体散射在有效介质中起什么作用？在粒子尺寸小且密度高的极限下，如何严格处理其影响？

主要发现

• 小阻抗粒子的散射振幅与 $ a^{2-\kappa} $ 成正比，其中 $ \kappa \in [0,1) $ 为可调参数，其散射强度远强于完美导体粒子的 $ a^3 $ 比例。
• 通过选择适当的 $ h(x) $ 与 $ \kappa $，介质的有效折射率 $ n(x) $ 可任意接近任意期望的复值函数，如定理 5.1 所证明。
• 通过调节 $ h(x) $，有效磁导率 $ \mu(x) $ 也可被设计为任意期望值，其公式为 $ \mu(x) = \mu / (1 + \frac{2c_0}{3i\omega\mu} h(x)N(x)) $。
• 介质中极限场满足由多体散射问题导出的局部微分方程，从而可实现对材料宏观电磁特性的设计。
• 通过选择 $ h_1(x) \geq 0 $ 且使折射率参数的幅角落在 $ (-\pi, -\pi/2) $ 区间，可实现负折射（即 $ \operatorname{Re} n(x) < 0 $）。
• 该理论为通过控制小阻抗粒子的边界阻抗与空间分布，实现对电磁响应进行定制的超材料设计提供了严格的理论基础。