[论文解读] Scattering of solutions to NLW by Inward Energy Decay

Ruipeng Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文通过仅要求特定速率的向内能量衰减（无需对外向能量做假设），在3D下建立了径向、能量次临界的聚焦非线性波方程的散射。利用一种新颖的加权能量估计与一维比较论证，证明了正时间方向的全局散射，并在初始数据的衰减条件较弱时，给出了解向自由波收敛的显式速率。

ABSTRACT

The topic of this paper is a semi-linear, energy sub-critical, defocusing wave equation $\partial_t^2 u - Δu = - |u|^{p -1} u$ in the 3-dimensional space ($3\leq p<5$) whose initial data are radial and come with a finite energy. In this work we prove scattering in the positive time direction by only assuming the inward part of the energy decays at a certain rate, as long as the total energy is finite, regardless of the decay rate or size of the outward energy. More precisely, we assume the initial data comes with a finite energy and \[ \int_{{\mathbb R}^3} \max\{1,|x|^κ\}\ (\ | abla u_0(x)\cdot \frac{x}{|x|} + \frac{u_0(x)}{|x|} + u_1(x)\ |^2 + \frac{2}{p+1}|u_0(x)|^{p+1}\ ) dx < \infty. \] Here $κ\geq κ_0(p) = \frac{5-p}{p+1}$ is a constant. If $κ>κ_0(p)$, we can also prove $\|u\|_{L^p L^{2p}}({\mathbb R}^+ imes {\mathbb R}^3)< +\infty$ and give an explicit rate of $u$'s convergence to a free wave.

研究动机与目标

• 在仅保证能量有限的前提下，建立3D 聚焦非线性波方程径向解的散射。
• 通过聚焦于向内能量衰减，消除对外向能量强衰减或大小假设的依赖。
• 仅利用加权向内能量衰减条件，证明正时间方向的全局存在性与散射。
• 在初始数据具有更强衰减假设的条件下，推导出解向自由波收敛的显式速率。

提出的方法

• 引入一种包含径向导数与解的径向分量的加权能量泛函，权重为 $ |x|^{\kappa} $，其中 $ \kappa > \kappa_0(p) = \frac{5-p}{p+1} $，以控制向内能量的衰减。
• 通过径向波方程在 $ r $ 上的约化，将问题转化为带非线性项 $ -\frac{|w|^{p-1}w}{r^{p-1}} $ 的一维波方程，其中 $ w = ru $。
• 利用达朗贝尔公式，将解表示为初始数据与特征三角形上非线性积分的函数。
• 采用小初值在加权范数下的Bootstrap论证，以控制非线性增长。
• 应用比较引理（引理5.1），利用依赖域中解的大小来控制非线性积分。
• 结合能量守恒与Strichartz型估计，控制 $ L^p L^{2p} $ 范数，并在 $ \dot{H}^1 \times L^2 $ 中证明散射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在仅具有有限能量与向内能量衰减、而无对外向能量假设的条件下，证明3D 聚焦非线性波方程的散射？
• RQ2 为确保正时间方向的散射，初始数据的最小衰减速率是什么？
• RQ3 在更强衰减假设下，能否推导出解向自由波收敛的显式速率？
• RQ4 在外部区域 $ |x| > t + R $，解在向内能量衰减条件下如何行为？
• RQ5 使散射结果成立的权重指数 $ \kappa $ 的最优阈值是什么？

主要发现

• 在仅假设 $ \int_{\mathbb{R}^3} (1 + |x|^\kappa) \left( |\nabla u_0|^2 + |u_1|^2 + |u_0|^{p+1} \right) dx < \infty $ 且 $ \kappa > \kappa_0(p) = \frac{5-p}{p+1} $ 的条件下，证明了3D 聚焦非线性波方程径向解在 $ p \in [3,5) $ 时在 $ \dot{H}^1 \times L^2 $ 中的散射。
• 当 $ \kappa > \kappa_0(p) $ 时，解满足 $ \|u\|_{L^p L^{2p}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^3)} < \infty $，表明其在时空上具有强可积性。
• 在相同条件下，获得了解向自由波收敛的显式速率：$ \|u(t) - v(t)\|_{\dot{H}^1 \times L^2} \to 0 $ 当 $ t \to \infty $。
• 解满足 $ |w(r,t)| \leq 3c r^\beta $ 对于 $ r \geq t + R $，其中 $ w = ru $，$ \beta = \frac{2}{p-1} $，且 $ c $ 较小，意味着在外部区域有 $ u(r,t) \simeq c r^{-\frac{2}{p-1}} $。
• 构造了一个例子，其中初始数据衰减如 $ |x|^{-\frac{2}{p-1}} $，在 $ \kappa \in (\frac{5-p}{p+1}, \frac{5-p}{p-1}) $ 时满足加权能量条件，但 $ \|u\|_{L^{2(p-1)} L^{2(p-1)}} = \infty $，表明 $ L^p L^{2p} $ 范数条件的最优性。
• 结果在不施加任何对外向能量大小或衰减的限制下成立，表明仅靠向内能量衰减即可保证散射。