[论文解读] Scattering theory for non-selfadjoint extensions of symmetric operators

Kirill Cherednichenko, Alexander V. Kiselev+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文利用 Boris Pavlov 的谱形式，为对称算子的非自伴扩张构建了一个函数模型，从而实现了指数型酉群的显式公式。该研究构造了波算子，并为自伴与非自伴扩张均提出了散射矩阵的新表示，将散射理论的适用范围拓展至自伴情形之外。

ABSTRACT

This work deals with the functional model for extensions of symmetric operators and its applications to the theory of wave scattering. In terms of Boris Pavlov's spectral form of this model, we find explicit formulae for the action of the unitary group of exponentials corresponding to almost solvable extensions of a given closed symmetric operator with equal deficiency indices. On the basis of these formulae, we are able to construct wave operators and derive a new representation for the scattering matrix for pairs of such extensions in both self-adjoint and non-self-adjoint situations.

研究动机与目标

• 将散射理论推广至具有相等亏指数的对称算子的非自伴扩张。
• 基于 Boris Pavlov 的谱形式，为这类扩张发展一个函数模型。
• 推导出与近乎可解扩张相关的指数型酉群作用的显式公式。
• 构造波算子，并在自伴与非自伴情形下获得散射矩阵的新表示。

提出的方法

• 利用 Boris Pavlov 的函数模型谱形式，处理具有相等亏指数的对称算子。
• 将该模型应用于近乎可解扩张，推导出指数型酉群的显式表达式。
• 利用这些表达式定义成对扩张的波算子。
• 通过酉群与波算子的作用，推导出散射矩阵的新表示。
• 使用相同的底层模型，将该框架扩展至自伴与非自伴情形。
• 依赖谱理论与函数模型技术，确保在非自伴情形下的数学严谨性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将对称算子的函数模型适配于具有相等亏指数的非自伴扩张？
• RQ2 在这些扩张中，能否推导出指数型酉群的显式公式？
• RQ3 如何为非自伴扩张的成对构造波算子？
• RQ4 在非自伴散射情形下，散射矩阵的结构是怎样的？
• RQ5 能否在自伴与非自伴情形下实现散射矩阵的统一表示？

主要发现

• 推导出与对称算子近乎可解扩张相关的指数型酉群作用的显式公式。
• 利用推导出的公式，成功构造了非自伴扩张对的波算子。
• 获得了一个新的散射矩阵表示，该表示在自伴与非自伴情形下均成立。
• 函数模型框架使得散射理论得以超越自伴情形。
• 该方法统一了具有相等亏指数的对称算子在自伴与非自伴情形下的散射处理。
• 结果表明，Pavlov 的谱形式在散射理论中适用于非自伴扩张。