[论文解读] Scattering Theory for Open Quantum Systems

Jussi Behrndt, M. M. Malamud+1 more|ArXiv.org|Oct 31, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 40被引用 4

一句话总结

本论文为由最大耗散算符（伪哈密顿算符）建模的开放量子系统构建了散射理论框架，证明其散射矩阵可完全由自伴扩张的单位散射矩阵恢复。关键贡献在于对能量依赖的耗散系统，严格构造了一个半有界哈密顿嵌入，通过特征函数理论证明了闭合系统的散射矩阵与原始开放系统的散射矩阵完全一致。

ABSTRACT

Quantum systems which interact with their environment are often modeled by maximal dissipative operators or so-called Pseudo-Hamiltonians. In this paper the scattering theory for such open systems is considered. First it is assumed that a single maximal dissipative operator $A_D$ in a Hilbert space $\sH$ is used to describe an open quantum system. In this case the minimal self-adjoint dilation $\widetilde K$ of $A_D$ can be regarded as the Hamiltonian of a closed system which contains the open system $\{A_D,\sH\}$, but since $\widetilde K$ is necessarily not semibounded from below, this model is difficult to interpret from a physical point of view. In the second part of the paper an open quantum system is modeled with a family $\{A(μ)\}$ of maximal dissipative operators depending on energy $μ$, and it is shown that the open system can be embedded into a closed system where the Hamiltonian is semibounded. Surprisingly it turns out that the corresponding scattering matrix can be completely recovered from scattering matrices of single Pseudo-Hamiltonians as in the first part of the paper. The general results are applied to a class of Sturm-Liouville operators arising in dissipative and quantum transmitting Schrödinger-Poisson systems.

研究动机与目标

• 为由最大耗散算符（伪哈密顿算符）描述的开放量子系统发展严格的散射理论。
• 解决标准扩张理论中非半有界自伴扩张的物理不一致性问题。
• 为由能量依赖的最大耗散算符族建模的开放系统，构造一个半有界的闭合系统嵌入。
• 通过特征函数理论，建立闭合系统的散射矩阵与原始开放系统散射矩阵之间的完全对应关系。
• 将该框架应用于耗散性和量子透射薛定谔-泊松系统中出现的斯图尔姆-刘维尔算符。

提出的方法

• 使用边界三元组理论与威尓函数刻画对称算符的扩张。
• 通过 $ K_0 = A_0 \oplus G_0 $ 的奇异有限秩扰动，构造最大耗散算符 $ A_D $ 的自伴扩张 $ \widetilde{K} $。
• 采用拉克斯-菲利普斯散射框架，定义波算子与散射算子 $ S(\widetilde{K}, K_0) $。
• 在谱表示中，将散射矩阵 $ \{\widetilde{S}(\lambda)\} $ 推导为单位乘法算子。
• 建立散射矩阵与耗散扩张 $ A_{-\tau(\lambda)} $ 的特征函数 $ W_{A_{-\tau(\lambda)}}(\lambda - i0)^* $ 之间的联系。
• 将理论应用于具有点相互作用的斯图尔姆-刘维尔算符，以布斯拉耶夫-福明算符作为模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由单个最大耗散算符描述的开放量子系统，构造一个物理上一致的半有界哈密顿嵌入？
• RQ2 通过自伴扩张构造的闭合系统的散射矩阵与原始开放系统的散射矩阵之间有何关系？
• RQ3 能否从单个伪哈密顿算符的散射矩阵中恢复能量依赖的最大耗散算符族的散射矩阵？
• RQ4 最大耗散算符的特征函数与其实自伴扩张的散射矩阵之间的确切关系是什么？
• RQ5 该框架如何应用于具有点相互作用的耗散性薛定谔-泊松系统等物理系统？

主要发现

• 自伴扩张 $ \widetilde{K} $ 的散射矩阵 $ \{\widetilde{S}(\lambda)\} $ 可分解为 $ 2\times2 $ 块矩阵，其左上角块等于耗散系统 $ \{A_D, A_0\} $ 的散射矩阵 $ \{S_D(\lambda)\} $。
• 散射矩阵 $ \{\widetilde{S}(\lambda)\} $ 在 $ K_0^{ac} $ 的谱表示中，与由 $ \{\widetilde{S}(\lambda)\} $ 诱导的乘法算子酉等价。
• 散射矩阵显式表示为 $ \widetilde{S}(\lambda) = I - 2iP_{\tau(\lambda)}\sqrt{\Im(\tau(\lambda))}(M(\lambda) + \tau(\lambda))^{-1}\sqrt{\Im(\tau(\lambda))} $，其中 $ M(\lambda) $ 为威尓函数，$ \tau(\lambda) $ 为耗散扩张的威尓函数。
• 闭合系统 $ \{\widetilde{L}, L_0\} $ 的散射矩阵满足 $ \widetilde{S}(\lambda) = W_{A_{-\tau(\lambda)}}(\lambda - i0)^* $，从而建立了特征函数与散射矩阵之间的直接联系。
• 对于具有点相互作用的斯图尔姆-刘维尔系统，自伴扩张 $ \widetilde{L} $ 与布斯拉耶夫-福明算符一致，证实了该构造的物理相关性。
• 该框架通过使用依赖于能量 $ \mu $ 的最大耗散算符族 $ \{A(\mu)\} $，实现了开放系统的半有界嵌入，解决了标准扩张理论中非半有界性的问题。