[论文解读] Scheduling Meets Fixed-Parameter Tractability

Matthias Mnich, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2013

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文首次为基本调度问题提出了固定参数可满足性（FPT）算法，包括完工时间最小化、具有作业相关成本函数的调度（例如加权流程时间），以及带拒绝的调度。通过将不同处理时间或拒绝成本的数量作为关键参数，作者将这些问题简化为固定维数的整数规划，从而在通常阻碍FPT方法的数值输入值存在的情况下，仍能实现FPT算法。其主要贡献在于，针对经典NP难调度问题，在新型参数化下建立了FPT算法，并通过匹配的W[1]-难结果证明了这些参数的紧致性。

ABSTRACT

Fixed-parameter tractability analysis and scheduling are two core domains of combinatorial optimization which led to deep understanding of many important algorithmic questions. However, even though fixed-parameter algorithms are appealing for many reasons, no such algorithms are known for many fundamental scheduling problems. In this paper we present the first fixed-parameter algorithms for classical scheduling problems such as makespan minimization, scheduling with job-dependent cost functions-one important example being weighted flow time-and scheduling with rejection. To this end, we identify crucial parameters that determine the problems' complexity. In particular, we manage to cope with the problem complexity stemming from numeric input values, such as job processing times, which is usually a core bottleneck in the design of fixed-parameter algorithms. We complement our algorithms with W[1]-hardness results showing that for smaller sets of parameters the respective problems do not allow FPT-algorithms. In particular, our positive and negative results for scheduling with rejection explore a research direction proposed by Dániel Marx. We hope that our contribution yields a new and fresh perspective on scheduling and fixed-parameter algorithms and will lead to further fruitful interdisciplinary research connecting these two areas.

研究动机与目标

• 解决尽管经典调度问题具有重要性和实际相关性，但缺乏固定参数可满足性（FPT）算法的问题。
• 克服由数值输入值（例如处理时间、权重、拒绝成本）带来的挑战，这些值通常因强NP难性而阻碍FPT算法的实现。
• 识别出最小且有意义的参数集（如不同处理时间或拒绝成本的数量），使得基本调度问题成为FPT问题。
• 建立正向的FPT结果与W[1]-难下界，以证明所选参数的紧致性。
• 开启一个连接调度理论与固定参数可满足性的全新跨学科研究方向。

提出的方法

• 对于相同机器上的完工时间最小化，作者表明相同长度的作业可近乎平均分配至各机器，从而实现预处理步骤，将问题转化为固定参数形式。
• 剩余的调度决策被建模为固定维数的整数规划，其中变量表示每种大小的作业被分配至每台机器的数量。
• 对于无关机器，参数化包括机器数量和不同处理时间的数量，并利用Hall定理导出约束条件，以确保作业分配的可行性。
• 使用一组紧凑的Hall型约束替代指数级数量的子集检查，从而实现高效的FPT算法。
• 对于带拒绝的调度，作者采用基于不同拒绝成本数量的参数，并将问题简化为具有结构化收益函数的背包问题变种。
• 该方法被扩展至一般调度问题（GSP），通过从3D匹配问题（采用作业索引的二进制编码）进行归约，证明即使处理时间被限制为1或3，该问题仍为NP难。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以不同处理时间或作业权重的数量为参数时，是否可以以固定参数可满足的时间复杂度求解如完工时间最小化和加权流程时间等经典调度问题？
• RQ2 尽管存在数值输入值，当以不同拒绝成本的数量为参数时，带拒绝的调度是否为FPT？
• RQ3 能够使调度问题实现FPT算法的最小参数集是什么？我们能否证明更小的参数集会导致W[1]-难？
• RQ4 不同处理时间的数量是否足以作为无关机器调度问题的充分参数，以实现FPT算法？
• RQ5 当处理时间被限制为仅两个值（1和3）时，一般调度问题（GSP）是否仍为NP难，即使在非抢占式设置下？

主要发现

• 本文首次为相同机器上的完工时间最小化问题提出了FPT算法，以不同处理时间的数量为参数，时间复杂度为f(k)·n^O(1)。
• 对于无关机器，问题R||C_max在同时以机器数量和不同处理时间数量为参数时为FPT，通过固定维数整数规划形式化实现。
• 当以不同拒绝成本的数量为参数时，带拒绝的调度为FPT，其问题被归约为具有结构化收益函数的类似背包问题。
• 作者证明了在更小的参数集下，所有研究问题均为W[1]-难，从而证明了所选参数的紧致性。
• 即使所有作业的处理时间被限制为1或3，一般调度问题（GSP）仍为NP难，这在受限但自然的情况下建立了强有力的难解性结果。
• 本文证明了标准形式解（非抢占式、所有作业均被调度）可被用于将问题约化至参数化设置，从而为抢占式与非抢占式变体均实现了FPT算法。