[论文解读] Scheduling of unit-length jobs with bipartite incompatibility graphs on four uniform machines

Hanna Furmańczyk, Marek Kubale|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 7

一句话总结

本文研究在四台均匀机器上调度单位长度作业的问题，作业间存在二分相容性约束（即冲突作业不能共享同一台机器）。针对特定的速率配置，提出了多项式时间算法：当 $ s_1 \geq 12s_2 $ 且 $ s_2 = s_3 = s_4 $ 时，给出一个最优的 $ O(n^{1.5}) $ 时间算法；当 $ s_1 \geq s_2 \geq s_3 = s_4 $ 时，给出一个 $ 32/15 $-近似算法，时间复杂度为 $ O(n^{1.5}) $，且在度数 $ \Delta \leq 4 $ 的约束下成立。即使三台机器速率相等，该问题仍是 NP-难的。

ABSTRACT

In the paper we consider the problem of scheduling $n$ identical jobs on 4 uniform machines with speeds $s_1 \geq s_2 \geq s_3 \geq s_4,$ respectively. Our aim is to find a schedule with a minimum possible length. We assume that jobs are subject to some kind of mutual exclusion constraints modeled by a bipartite incompatibility graph of degree $Δ$, where two incompatible jobs cannot be processed on the same machine. We show that the problem is NP-hard even if $s_1=s_2=s_3$. If, however, $Δ\leq 4$ and $s_1 \geq 12 s_2$, $s_2=s_3=s_4$, then the problem can be solved to optimality in time $O(n^{1.5})$. The same algorithm returns a solution of value at most 2 times optimal provided that $s_1 \geq 2s_2$. Finally, we study the case $s_1 \geq s_2 \geq s_3=s_4$ and give an $O(n^{1.5})$-time $32/15$-approximation algorithm in all such situations.

研究动机与目标

• 研究在四台均匀机器上调度 $ n $ 个相同单位长度作业的问题，其互斥约束由二分相容性图建模。
• 确定在不同机器速率配置下该问题的计算复杂性。
• 为特定速率比和有界相容度数（$ \Delta \leq 4 $）设计高效的多项式时间算法。
• 为最优解计算困难的情形提供近似保证。
• 将模型扩展至超过四台机器，并分析其可推广性。

提出的方法

• 将调度问题建模为二分相容性图的 4-染色问题，其中每种颜色类对应一台机器的负载。
• 使用均衡染色与半均衡染色技术，平衡作业在各机器间的分配，以最小化最大负载。
• 采用两阶段算法：首先利用 Chen 和 Yen（2004）的已知结果，对满足 $ \Delta \leq 4 $ 的二分图求解均衡 4-染色。
• 按颜色类大小降序排列，并依此将颜色类分配给速率从高到低的机器，以最小化完成时间。
• 设计一个通用算法，根据速率比 $ s_2/s_3 $ 选择两种策略：当 $ s_2 > 3s_3 $ 时使用算法 2，当 $ s_2 \leq 3s_3 $ 时使用算法 3，确保获得 $ 32/15 $-近似。
• 利用如下事实：当 $ s_1 \geq 12s_2 $ 且 $ s_2 = s_3 = s_4 $ 时，第一台机器可承担全部负载而不增加最优完成时间，从而通过基于匹配的图分解实现最优调度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位长度作业、二分相容性图和四台均匀机器的配置下，该调度问题在任何速率配置下是否为 NP-难？
• RQ2 当 $ s_1 \geq 12s_2 $ 且 $ s_2 = s_3 = s_4 $ 时，若 $ \Delta \leq 4 $，该问题是否可在多项式时间内获得最优解？
• RQ3 当 $ s_1 \geq s_2 \geq s_3 = s_4 $ 且 $ \Delta \leq 4 $ 时，该调度问题的近似比可保证为多少？
• RQ4 当速率比 $ s_2/s_3 $ 超过某一阈值后，所提算法的性能如何退化？
• RQ5 这些结果能否推广至具有类似速率与相容性约束的多于四台机器的情形？

主要发现

• 即使在 $ s_1 = s_2 = s_3 $ 的对称速率配置下，该问题仍是 NP-难的，表明其具有固有的计算难度。
• 当 $ s_1 \geq 12s_2 $ 且 $ s_2 = s_3 = s_4 $ 时，对于最大度数 $ \Delta \leq 4 $ 的图，可在 $ O(n^{1.5}) $ 时间内计算出最优解，其关键在于基于匹配的二分图分解。
• 当 $ s_1 \geq 2s_2 $ 且 $ s_2 = s_3 = s_4 $ 时，相同算法可保证解的完成时间不超过最优值的 2 倍。
• 当 $ s_1 \geq s_2 \geq s_3 = s_4 $ 时，结合两种策略的通用算法可在 $ O(n^{1.5}) $ 时间内实现 $ 32/15 \approx 2.133 $-近似。
• 该近似比在最坏情况下是紧的，通过构造实例表明该比值可逼近 $ 32/15 $。
• 结果可推广至 $ m > 4 $ 台机器：当 $ s_1 \geq m(m+1)s_2 $ 且 $ s_2 = \cdots = s_m $ 时，存在最优算法，且 $ \Delta \leq m $，该解法运行时间为 $ O(n^{1.5}) $。