[论文解读] Scheduling of unit-length jobs with cubic incompatibility graphs on three uniform machines

Hanna Furmańczyk, Marek Kubale|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2015

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 11被引用 3

一句话总结

本论文研究在具有立方排斥图的三台均匀机器上调度单位长度作业的问题，其中每个作业恰好与另外三个作业冲突。针对 2-色图，提出了一个 O(n²) 时间复杂度的算法；针对 3-色图，提出一个 O(n³) 时间复杂度的 4/3-近似算法，当 3s₁/4 ≤ s₂ = s₃ 时，该算法几乎必然达到最优解。

ABSTRACT

In the paper we consider the problem of scheduling $n$ identical jobs on 3 uniform machines with speeds $s_1, s_2,$ and $s_3$ to minimize the schedule length. We assume that jobs are subjected to some kind of mutual exclusion constraints, modeled by a cubic incompatibility graph. We show that if the graph is 2-chromatic then the problem can be solved in $O(n^2)$ time. If the graph is 3-chromatic, the problem becomes NP-hard even if $s_1>s_2=s_3$. However, in this case there exists a $4/3$-approximation algorithm running in $O(n^3)$ time. Moreover, this algorithm solves the problem almost surely to optimality if $3s_1/4 \leq s_2 = s_3$.

研究动机与目标

• 研究在由立方排斥图建模的相互排斥约束下，对三台均匀机器上的 n 个相同单位长度作业进行调度的问题。
• 根据排斥图的色数确定该问题的计算复杂性。
• 为 2-色图和 3-色图的立方图设计高效算法，并提供性能保证。
• 建立所提近似算法在高概率下达到最优解的条件。
• 将模型扩展至非连通立方图，并分析此类情况下最优调度的可行性。

提出的方法

• 对于 2-色图，采用基于立方图均衡 2-着色的多项式时间算法，利用此类图是二分图且两部分大小相等的性质。
• 对于 3-色图，应用一种 4/3-近似算法，首先通过贪心方法寻找较大的独立集，然后通过顶点交换过程将其转化为半均衡着色。
• 使用 FKR 算法（Furmańczyk-Kubale-Radziszowski）通过在独立集之间交换顶点，迭代改进着色，以确保负载分布均衡。
• 使用机器速度 s₁, s₂, s₃ 分析调度长度，目标是最小化 C_max = max{P_i(I_i)}，其中 P_i(I_i) = |I_i|/s_i。
• 通过比较算法的调度长度与最优 C_max*，利用独立数界和均衡着色性质推导出性能界。
• 借助 Frieze 和 Suen 关于随机立方图中大独立集的概率结果，证明在特定速度比下，几乎必然达到最优解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当排斥图为 2-色图时，单位长度作业与立方排斥图的调度问题是否可在多项式时间内最优求解？
• RQ2 当排斥图为 3-色图时，该问题的计算复杂性如何？在何种条件下为 NP-难？
• RQ3 能否为三台均匀机器上的 3-色立方图设计一个 4/3-近似算法？其时间复杂度是多少？
• RQ4 在何种速度条件下，该近似算法以高概率获得最优解？
• RQ5 如何将算法扩展至处理非连通立方图？此类情况下的计算复杂性如何？

主要发现

• 当排斥图为 2-色图时，问题可在 O(n²) 时间内求解，因为此类图是二分图，且允许均衡 2-着色。
• 当图是 3-色图时，问题为 NP-难，即使 s₁ > s₂ = s₃，原因在于立方图中均衡 3-着色的固有复杂性。
• 针对 3-色图，提出一个 O(n³) 时间复杂度的 4/3-近似算法，保证解的调度长度不超过最优值的 4/3 倍。
• 当 3s₁/4 ≤ s₂ = s₃ 时，该算法以高概率返回最优解，因为在几乎所有立方图中均可找到大小至少为 0.432n 的大独立集。
• 只要 s₁ > 0，4/3 的性能保证始终成立，通过独立数和均衡着色界对算法与最优调度长度之比进行有界控制。
• 算法可扩展至非连通立方图：算法 1 适用于 2-色图情况，算法 2 适用于 3-色图情况，时间复杂度分别为 O(n²) 和 O(n³)。