[论文解读] Scheduling to Minimize Total Weighted Completion Time via Time-Indexed Linear Programming Relaxations

Shi Li|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了一种改进的近似算法，用于最小化总加权完成时间的调度问题，采用时间索引线性规划松弛方法，实现了无关机器调度的 (1.5−c)-近似——与近期突破性结果一致，但通过更简单、更自然的线性规划松弛实现。该方法利用分数调度来优化分析，突破了在前序约束和相关机器模型中长期存在的近似瓶颈。

ABSTRACT

We study approximation algorithms for scheduling problems with the objective of minimizing total weighted completion time, under identical and related machine models with job precedence constraints. We give algorithms that improve upon many previous 15 to 20-year-old state-of-art results. A major theme in these results is the use of time-indexed linear programming relaxations. These are natural relaxations for their respective problems, but surprisingly are not studied in the literature. We also consider the scheduling problem of minimizing total weighted completion time on unrelated machines. The recent breakthrough result of [Bansal-Srinivasan-Svensson, STOC 2016] gave a $(1.5-c)$-approximation for the problem, based on some lift-and-project SDP relaxation. Our main result is that a $(1.5 - c)$-approximation can also be achieved using a natural and considerably simpler time-indexed LP relaxation for the problem. We hope this relaxation can provide new insights into the problem.

研究动机与目标

• 为各种机器模型下的总加权完成时间目标调度问题开发改进的近似算法。
• 解决在具有前序约束和非均匀作业规模的调度问题中长期缺乏进展的近似难题。
• 证明时间索引线性规划松弛——此前未被充分探索——可产生强大的近似保证。
• 在无关机器调度中实现或超越 (1.5−c)-近似，此前仅通过复杂的提升-投影SDP松弛实现。
• 通过更简单、更直观的线性规划公式，为加权完成时间调度的结构提供新见解。

提出的方法

• 构建时间索引线性规划松弛，为作业在不同机器和时间槽上分配分数处理时间。
• 利用分数解指导基于作业的列表调度算法，根据 $ C_j - p_j/2 $ 值优先处理作业。
• 应用概率分析的随机舍入方案，以界定期望完成时间。
• 引入作业间的负相关性论证，分析调度冲突和延迟的概率。
• 使用区间分解和几何分组（例如 $ 2^a $-层区间）界定不同作业规模的贡献。
• 对机器特定事件去条件化，推导全局期望完成时间界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间索引线性规划松弛能否在总加权完成时间调度中优于或简化现有近似算法？
• RQ2 能否通过自然的线性规划松弛而非复杂的SDP方法，实现无关机器调度的 (1.5−c)-近似？
• RQ3 如何利用分数调度解来改进现有近似算法的分析？
• RQ4 前序约束在限制或促进更好近似比方面起什么作用？
• RQ5 在保持近似保证的前提下，能否高效处理调度中的超多项式时间范围？

主要发现

• 通过时间索引线性规划松弛，实现了无关机器调度的 (1.5−c)-近似，与更复杂的SDP方法所达到的最佳结果一致。
• 时间索引线性规划松弛被证明具有强大能力且尚未被充分使用，为提升-投影SDP松弛提供了更简单的替代方案。
• 对于具有前序约束的相同机器，本文改进了Hall等人提出的7-近似和Munier等人提出的4-近似，尽管新比值未明确说明。
• 分析表明，分数解可识别并修正先前算法中的松散界限，从而获得更紧的性能保证。
• 通过借鉴先前工作的技术，该方法能高效处理超多项式时间范围，确保多项式时间可解性。
• 每个作业的期望完成时间被界定为 $ (1.5 - 1/6000)( ext{LP完成时间}) $，证明了 $ (1.5 - 1/6000) $-近似。