[论文解读] Scheduling with a Limited Testing Budget

Christoph Damerius, Peter Kling+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Optimization and Search Problems被引用 1

一句话总结

本文研究在有限测试预算下的调度问题，其中测试作业会以作业特定的成本降低其处理时间，涵盖离线（已知下界）和无感知（未知下界）两种设置。针对离线情况下的总完成时间，提出了一种新型线性规划舍入方案，实现了PTAS；针对无感知总完成时间，设计了(4+ϵ)-竞争比的确定性算法；针对离线的完成时间，提出了FPTAS；针对无感知的完成时间，设计了(2+ϵ)-竞争比的算法，所有结果均通过匹配的下界证明了最优性。

ABSTRACT

Scheduling with testing falls under the umbrella of the research on optimization with explorable uncertainty. In this model, each job has an upper limit on its processing time that can be decreased to a lower limit (possibly unknown) by some preliminary action (testing). Recently, D{ü}rr et al. \cite{DBLP:journals/algorithmica/DurrEMM20} has studied a setting where testing a job takes a unit time, and the goal is to minimize total completion time or makespan on a single machine. In this paper, we extend their problem to the budget setting in which each test consumes a job-specific cost, and we require that the total testing cost cannot exceed a given budget. We consider the offline variant (the lower processing time is known) and the oblivious variant (the lower processing time is unknown) and aim to minimize the total completion time or makespan on a single machine. For the total completion time objective, we show NP-hardness and derive a PTAS for the offline variant based on a novel LP rounding scheme. We give a $(4+ε)$-competitive algorithm for the oblivious variant based on a framework inspired by the worst-case lower-bound instance. For the makespan objective, we give an FPTAS for the offline variant and a $(2+ε)$-competitive algorithm for the oblivious variant. Our algorithms for the oblivious variants under both objectives run in time $O(poly(n/ε))$. Lastly, we show that our results are essentially optimal by providing matching lower bounds.

研究动机与目标

• 解决在固定预算约束下，测试作业以作业特定成本降低处理时间的调度问题。
• 在单台机器上最小化总完成时间和完成时间，当处理时间下界已知（离线）或未知（无感知）时。
• 为两种目标在两种设置下设计高效的近似与竞争算法。
• 通过匹配的下界证明所提算法的最优性。

提出的方法

• 提出一种新型线性规划舍入方案，以实现离线总完成时间问题的PTAS。
• 基于最坏情况下的下界实例框架，设计了一种(4+ϵ)-竞争比的确定性算法，用于无感知总完成时间问题。
• 通过在离散化实例上应用动态规划，为离线完成时间目标设计了FPTAS。
• 通过引入辅助实例和(1+ϵ)-近似求解器，提出了一种(2+ϵ)-竞争比的算法，用于无感知完成时间目标。
• 通过转换为最坏情况实例，证明了竞争比界限，依赖于最优解与算法解的结构特性。
• 通过对抗性构造建立匹配的下界，证明了所有近似与竞争比的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在预算化测试模型下，离线总完成时间问题能否被高效近似，且最佳可能的近似比是多少？
• RQ2 对于无感知总完成时间问题，确定性在线算法能达到的最佳竞争比是多少？
• RQ3 在预算化测试模型下，离线完成时间最小化问题是否存在FPTAS？
• RQ4 能否设计出(2+ϵ)-竞争比的无感知完成时间问题算法，且该比值是否紧致？
• RQ5 所提近似与竞争比是否最优？能否通过匹配的下界证明？

主要发现

• 即使所有下界均为零，具有有限测试预算的离线总完成时间问题仍是NP难的。
• 通过一种新型线性规划舍入方案，实现了离线总完成时间问题的PTAS。
• 为无感知总完成时间问题提出了一种(4+ϵ)-竞争比的确定性算法。
• 为离线完成时间最小化问题设计了FPTAS。
• 为无感知完成时间问题开发了(2+ϵ)-竞争比的算法，时间复杂度为O(poly(n/ϵ))。
• 本文建立了匹配的下界，证明了所有所提近似与竞争比本质上是最优的。