[论文解读] Scheduling with Obligatory Tests

Konstantinos Dogeas, Thomas Erlebach+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 1

一句话总结

本文研究了一类带有强制性测试的调度问题，其中每个作业必须先经过一个持续时间已知的测试，之后才能得知其处理时间。作者提出了 1-SORT 算法，用于在单台机器上最小化完成时间之和，并通过一种新颖的基于延迟的图分析方法，证明了其竞争比至多为 1.861。对于测试时间相同的情况，作者提出了一种基于阈值的算法，实现了 1.585 的竞争比，且对确定性算法给出了 √2 的匹配下界。

ABSTRACT

Motivated by settings such as medical treatments or aircraft maintenance, we consider a scheduling problem with jobs that consist of two operations, a test and a processing part. The time required to execute the test is known in advance while the time required to execute the processing part becomes known only upon completion of the test. We use competitive analysis to study algorithms for minimizing the sum of completion times for $n$ given jobs on a single machine. As our main result, we prove using a novel analysis technique that the natural $1$-SORT algorithm has competitive ratio at most 1.861. For the special case of uniform test times, we show that a simple threshold-based algorithm has competitive ratio at most 1.585. We also prove a lower bound that shows that no deterministic algorithm can be better than $\sqrt{2}$-competitive even in the case of uniform test times.

研究动机与目标

• 解决每个作业在处理前必须经过测试的调度场景，例如医学诊断或飞机维护。
• 在处理时间仅在测试后才可知的情况下，最小化单台机器上的完成时间之和。
• 使用竞争分析方法，评估该设定下在线算法的性能。
• 缩小该问题已知上界与下界之间在竞争比上的差距。
• 为带有测试的调度问题开发一种新的竞争比上界分析技术。

提出的方法

• 提出 1-SORT 算法，作为 (α, β)-SORT 在强制性测试场景下的自然扩展。
• 引入一种新颖的图分析方法，其中每对作业贡献一个延迟，总完成时间等于所有延迟之和加上处理时间之和。
• 分析算法调度中延迟与最优调度中延迟的比值，表明高延迟边被大量低延迟边所平衡。
• 对于测试时间相同的情况，采用 Dürr 等人提出的阈值算法，若揭示的处理时间低于阈值，则立即执行处理部分。
• 通过引理 17 将最坏情况实例简化为处理时间仅为 0 或 y 的情形，从而简化竞争比分析。
• 通过符号计算优化竞争比表达式，针对参数 α（作业占比）和 γ（零处理时间短作业占比）进行最小化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在测试时间任意的强制性测试调度问题中，确定性在线算法的最佳可能竞争比是多少？
• RQ2 1-SORT 算法能否实现严格低于 2 的竞争比？若是，其差距有多大？
• RQ3 在测试时间相同这一特殊情况下，可实现的最优竞争比是多少？
• RQ4 能否改进 1-SORT 的分析，以缩小其上界与已知下界 √2 之间的差距？
• RQ5 这种基于延迟的图分析技术是否可推广至其他带有测试的调度变体？

主要发现

• 1-SORT 算法在测试时间任意的情况下，竞争比至多为 1.861。
• 对于测试时间相同的情况，基于阈值的算法 SIDLE 竞争比至多为 1.585。
• 1.585 的竞争比是紧的，因为最坏情况实例趋近于 1.58451。
• 在测试时间相同的情况下，任何确定性算法的竞争比下界为 √2 ≈ 1.414。
• 使用作业完全图中边延迟的分析技术是新颖的，其竞争比上界比标准方法更紧。
• 最优阈值参数 y0 ≈ 1.35542 最小化了竞争比，其值为方程 2y³ − 9y² + 10y − 2 的第二个根。