[论文解读] Scheduling with two non-unit task lengths is NP-complete

Jan Elffers, Mathijs de Weerdt|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明了具有两个非单位作业长度及发布/截止时间的非抢占式单机调度问题是强 NP 完全的，解决了长期悬而未决的问题。证明通过从布尔可满足性问题（SAT）到一个辅助调度问题的多项式时间归约实现，该辅助问题包含具有早期/晚期截止时间的成对作业，随后通过作业长度变换将该问题映射到原始问题，表明即使在固定非单位长度下，该问题仍为计算不可解。

ABSTRACT

The non-preemptive job scheduling problem with release times and deadlines on a single machine is fundamental to many scheduling problems. We parameterize this problem by the set of job lengths the jobs can have. The case where all job lengths are identical is known to be solvable in polynomial time. We prove that the problem with two job lengths is NP-complete, except for the case in which the short jobs have unit job length, which was already known to be efficiently solvable. The proof uses a reduction from satisfiability to an auxiliary scheduling problem that includes a set of paired jobs that each have both an early and a late deadline, and of which at least one should be scheduled before the early deadline. This reduction is enabled by not only these pairwise dependencies between jobs, but also by dependencies introduced by specifically constructed sets of jobs which have deadlines close to each other. The auxiliary scheduling problem in its turn can be reduced to the scheduling problem with two job lengths by representing each pair of jobs with two deadlines by four different jobs.

研究动机与目标

• 为非抢占式单机调度问题中恰好存在两个非单位作业长度的计算复杂性问题提供解决。
• 确立当作业长度为大于一的固定整数时，该问题仍为 NP 完全。
• 证明仅当存在单位长度和非单位长度作业时问题为可解，与先前关于 {q,2q} 情况存在伪多项式解法的主张形成对比。
• 形式化并证明一个辅助调度问题的 NP 完全性，该问题涉及具有早期/晚期截止时间的成对作业。

提出的方法

• 从布尔可满足性问题（SAT）归约到一个辅助调度问题（AUX(p,q)），其中每对作业必须至少有一个在早期截止时间前完成。
• 通过构造具有特定发布时间、截止时间和处理时间的作业块，以编码变量与子句之间的逻辑依赖关系。
• 利用成对待处理作业和延迟调度块，强制规定一个文字的真值由其待处理作业是否提前或延迟完成决定。
• 将 AUX(p,q) 中每对作业转换为四个长度为 p 和 q 的作业，以将辅助问题映射到具有两个固定非单位长度的原始调度问题。
• 证明辅助问题通过 SAT 归约为 NP 完全，且可多项式时间归约至原始问题。
• 利用结构约束（如空闲时间传播和截止时间对齐）确保仅当 SAT 赋值满足时才存在可行调度。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有两个固定非单位作业长度的非抢占式单机调度问题是否为 NP 完全？
• RQ2 能否将 {1,p} 情况推广至 {q,p}（其中 q>1）并保持可解性？
• RQ3 与单位长度情况相比，非单位短作业长度的存在是否从根本上改变问题的复杂性？
• RQ4 是否存在针对 {q,2q} 情况的伪多项式算法，如先前所声称？
• RQ5 是否可将具有两个非单位作业长度的调度问题归约为已知可解形式？

主要发现

• 当 p > q > 1 时，具有两个非单位作业长度的调度问题是强 NP 完全的，解决了调度理论中的一个开放问题。
• 该证明表明，即使作业长度为大于一的固定常数，问题仍为计算不可解。
• 涉及具有早期和晚期截止时间的成对作业的辅助问题 AUX(p,q) 通过 SAT 归约被证明为 NP 完全。
• 从 AUX(p,q) 到原始问题的归约是多项式时间且保持可行性，从而确立了原始问题的 NP 完全性。
• 该结果与先前关于 {q,2q} 情况存在伪多项式解法的主张相矛盾，表明此类算法不可能存在，除非 P=NP。
• 唯一可解的情况是当一个作业长度为单位长度（1）时，因为 {1,p} 情况允许线性规划公式化，使单位作业可视为实际上的抢占式处理。